Petrobras 2014 - parte 3

Dando continuidade à resolução da prova da Petrobrás, hoje veremos a questão 24:

---

No sistema de numeração de base 8, os números são representados por numerais constituídos de algarismos que variam de zero a sete. Quantos são os numerais de três algarismos no sistema de numeração de base 8 em que, pelo menos, um algarismo é repetido?

(A) 154
(B) 294
(C) 328
(D) 448
(E) 572

---

Os números com três algarismos são do tipo XYZ. Como a base é 8, então X pode variar de 0 a 7. Y também pode variar de 0 a 7. Idem para Z.

O número total de números existentes pode ser calculado com o princípio fundamental da contagem (PFC).

Para a escolha de X temos 7 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Para a escolha de Y temos 8 opções, eis que é possível também escolher o algarismo 0. E para a escolha de Z temos também 8 opções.

Número total de possibilidades:

$ 7 \times 8 \times 8 = 448$

Vamos agora calcular o número de possibilidades em que não há algarismos repetidos.:

• para a escolha de X temos 7 opções
• para a escolha de Y temos 8 opções. Mas um dos algarismos já foi usado para X e não queremos repeti-lo. Então sobram 7 opções.
• para a escolha de Z temos inicialmente 8 algarismos. Mas dois deles já foram usados para X e Y e não queremos repeti-los. Sobram 6 opções.

Aplicando novamente o PFC:

$7 \times 7 \times 6 =294$

Assim, dos 448 números existentes, 294 não nos interessam, pois não apresentam ao menos um algarismo repetido.

$ 448-294=154$

Fazendo a diferença, descobrimos que 154 números atendem ao enunciado.

Gabarito: A