Petrobras 2014 - parte 4

A pedido do Cesar Goes, estou resolvendo algumas questões da prova da Petrobras 2014. Hoje veremos a questão 26 da prova.

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Considere o universo de doze signos zodiacais. Em um grupo de quatro pessoas, a probabilidade de elas serem regidas por exatamente dois signos é

a) 77/1728
b) 88/1728
c) 154/1728
d) 172/1728
e) 176/1728

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Casos possíveis

Vamos chamar as pessoas de A, B, C e D. Para cada uma delas temos 12 signos possíveis. Assim, o número total de maneiras de atribuirmos signos a A, B, C e D será:

$ 12 \times 12 \times 12 \times 12=12^4$

Este é o número de casos possíveis.

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Casos favoráveis

São favoráveis os casos em que temos apenas dois signos presentes.

Para que isso ocorra, vamos dividir o processo de atribuição de signos em duas partes:

1. escolhemos exatamente dois dos signos
2. atribuímos estes signos às 4 pessoas

Para a escolha desses dois signos, temos um caso de combinação de 12 signos, tomados 2 a 2:

$ C_{12,2}= {12! \over 2! \times 10!}=66$

Há 66 modos de escolhermos os dois signos.

Para facilitar o entendimento, considere que os dois signos escolhidos tenham sido Gêmeos e Escorpião.

Escolhidos esses dois signos, vamos agora alocar as pessoas que ficarão em Gêmeos. As que sobrarem estarão automaticamente alocadas em Escorpião.

Podemos colocar:

• uma única pessoa em Gêmeos. Há 4 formas de fazer isso: A, B, C, D
• ou então podemos colocar exatamente duas pessoas em Gêmeos. Há C(4,2) = 6 formas de fazer isso.
• ou então podemos colocar exatamente três pessoas em Gêmeos. Há C(4,3)=4 formas de fazer isso

Observem que tais possibilidades estão conectadas pelo "ou". Estamos diante do princípio aditivo:

$ 4+6+4=14 $

Assim, para cada uma das 66 escolhas de pares de signos, há 14 formas de eu alocar as pessoas.

Pelo princípio fundamental da contagem, o número de casos favoráveis é:

$ 66 \times 14$

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Probabilidade

Para calcular a probabilidade basta dividir número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis:

$ P= {66 \times 14 \over 12^4}$

Dividindo numerador e denominador por 12:

$ P = {11 \times 7 \over 12^3}$

$ P= {77 \over 1728}$

Gabarito:A