Petrobras 2014–questão 21

Hoje resolvo a questão 21 da prova da Petrobrás, realizada pela Cesgranrio.

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Seja $ \theta$ um arco do primeiro quadrante, tal que

$\tan \theta = 3$

Sabendo-se que

$\sec \theta = 1 \div \cos \theta$

Desde que $ \cos \theta \ne 0$ , quanto vale $ \sec (2 \theta)$?

(A) - 0,8
(B) -1,25
(C) 0,8
(D) 1,25
(E) 10^0,5

Resolução:

$\tan \theta = 3 $

${\sin \theta \over \cos \theta} = 3 $

$\sin \theta = 3 \cos \theta $

$\sin ^2 \theta = 9 \cos ^2 \theta $

Além disso, sabemos que o quadrado do seno adicionado ao quadrado do cosseno resulta em 1:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$

$\cos ^2 \theta = 0,1$

O cosseno do arco duplo é dado por:

$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - 9 \cos^2 (\theta) = -8 \cos^2\theta = -0,8$

Finalmente:

$\sec (2 \theta) = {1 \over \cos (2 \theta)} = {1 \over -0,8}  = -1,25$

Resposta: B