Analista da Receita 2009 - Variância

Jamile Farias, aluna do meu curso de estatística, pediu a solução da questão abaixo, da prova do ATRFB 2009.

(ESAF – ATRFB 2009) Obtenha o valor mais próximo da variância amostral da seguinte distribuição de frequências, onde X_i representa o i-ésimo valor observado e f_i a respectiva frequência.

Xi	5	6	7	8	9
fi	2	6	6	4	3

a) 1,429.

b) 1,225.

c) 1,5.

d) 1,39.

e) 1, 4.

Resolução:

Para facilitar as contas, vamos subtrair 7 de todos os valores de X, para que, quando elevarmos ao quadrado, não tenhamos números muito grandes.

Essa variável “d” é uma variável auxiliar, criada a partir de “X”. Nosso objetivo é diminuir a quantidade de contas.

Xi	d	fi	d f
5	-2	2	-4
6	-1	6	-6
7	0	6	0
8	1	4	4
9	2	3	6
TOTAL		21	0

Agora vamos calcular a média dos valores de d².

d	d2	fi	d f
-2	4	2	8
-1	1	6	6
0	0	6	0
1	1	4	4
2	4	3	12
TOTAL		21	30

A variância de d fica:

Mas nós não queremos a variância de d. Nós queremos a variância de X.

Somas e subtrações não interferem na variância. Logo, a variância de d é igual à variância de X.

Gabarito: C

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Probabilidade condicional

Hoje respondo a uma dúvida da Cristiane Ferreira. Não sei se é de algum concurso ou não.

 

Enunciado:

Dados A e B eventos com

calcular:

 

Resolução.

Antes de tudo, temos que relembrar a fórmula da probabilidade condicional. É a que segue:

Agora aplicamos este resultado à questão.

No numerador temos a intersecção entre dois conjuntos:

- o conjunto “A união com B”

- o conjunto B

Vejam que o segundo conjunto está contido no primeiro. Logo, a intersecção corresponderá ao conjunto menor:

Esse resultado não é tão difícil de entender. Se é dado que o evento B ocorreu, então temos certeza absoluta de que ocorreu o evento A ou o evento B (união). Por isso a probabilidade é 1.

Antes de atacarmos a letra “b”, vamos calcular a probabilidade da união:

Na letra “b”, a primeira probabilidade a ser calculada é:

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:

No numerador, queremos a probabilidade de que o evento “A” não ocorra e o evento “B” também não ocorra.

Isso é exatamente o contrário da união entre A e B. Para ficar mais claro, vejamos o diagrama:

Em amarelo temos a união entra A e B.

Em azul temos a parte do diagrama que corresponde à intersecção entre (A não ocorre) e (B não ocorre). Os eventos em amarelo e em azul são complementares.

Assim:

Agora podemos voltar no cálculo da probabilidade condicional:

Analogamente:

Por fim, outra forma de resolver a questão é trabalhar com um exemplo numérico.

Considere que tenhamos em uma urna 12 bolas numeradas de 1 a 12.

O evento A ocorre quando extraímos um bola do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

O evento B ocorre quando extraímos uma bola do conjunto {4, 5, 6, 7}

Com isso, vocês podem verificar que:

Se é dado que B ocorreu, então extraímos uma das seguintes bolas: 4, 5, 6, 7.

Logo, temos certeza de que o evento A união com B ocorreu. Temos certeza que alguma bola do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} foi extraída. Por isso a probabilidade da letra “a” é 1.

Se é dado que B não ocorreu, então é porque foi extraída alguma bola do seguinte conjunto: {1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12}. A chance de tal bola não pertencer ao conjunto “A” é de 5 em 8. Isso porque são 5 casos favoráveis (ver bolas sublinhadas – de 8 a 12) em 8 possíveis. Por isso:

Se é dado que A não ocorreu, então é porque foi extraída alguma bola do seguinte conjunto: {7, 8, 9, 10, 11, 12}. A chance de tal bola não pertencer ao conjunto “B” é de 5 em 6. Isso porque são 5 casos favoráveis (ver bolas sublinhadas – de 8 a 12) em 6 possíveis. Por isso:

Cris, espero ter ajudado.

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Vítor

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Forma alternativa de cálculo da variância

Recebi um e-mail do Antônio Carlos, aluno do Eu Vou Passar, pedindo ajuda com o cálculo alternativo de variância, quando optamos por usar a variável auxiliar.

Bom, relembrando, a variância é uma medida de dispersão. Ela me indica o quanto os dados estão afastados da média aritmética. Para calcular a variância, fazemos assim:

Ou seja, calculamos a média dos quadrados dos desvios. Desvios estes calculados em relação à média aritmética.

Caso estejamos diante de uma amostra, usamos “n – 1” no denominador. Neste caso, usamos o símbolo s² para a variância.

Não entrarei em detalhes no porquê disso, mas fica registrado que o objetivo é obter um estimador não-viciado da média da população.

Ok, continuando.

O grande detalhe é que esta forma de cálculo é muito demorada, é trabalhosa. E, na hora da prova, é sempre bom poupar tempo.

Pois bem, outra maneira de calcular a variância, que demanda muito menos tempo, é a seguinte:

Ou seja:

- calculamos a média dos quadrados

- calculamos o quadrado da média

- subtraímos um do outro, obtendo a variância populacional

Detalhe: essa forma alternativa pressupõe que utilizamos “n” no denominador. Se estivermos diante de uma amostra, temos que multiplicar por “n” (para anular a divisão feita pelo próprio “n”) e dividir por “n – 1”, para obter o denominador correto. Fica assim:

E, é claro, podemos usar o cálculo alternativo da variância em qualquer situação, inclusive quando decidimos adotar a variável “auxiliar”. E aqui reside a dúvida do Antônio Carlos.

Para ver como fica, nada melhor que um exemplo. Utilizarei a recente prova da Esaf, feita agora em 2012:

(ESAF - Ministério da Integração Nacional 2012)

A distribuição de frequências em classes do salário mensal x, medido em número de salários mínimos, de uma amostra aleatória de 50 funcionários de uma empresa, é apresentado a seguir.

Classe
Mais de 0 a 10	22
Mais de 10 a 20	13
Mais de 20 a 30	10
Mais de 30 a 40	3
Mais de 40 a 50	2

Usando os dados acima, obtenha o valor mais próximo da variância amostral do salário mensal.

a) 121,5

b) 124

c) 126,5

d) 129

e) 131,5

Resolução:

Seja “X” o ponto médio de cada classe.

Classe
Mais de 0 a 10	5	22
Mais de 10 a 20	15	13
Mais de 20 a 30	25	10
Mais de 30 a 40	35	3
Mais de 40 a 50	45	2

Observem que os valores de X são elevados. Para diminuir um pouco as contas, usamos a variável auxiliar, que eu costumo chamar de “d”.

Vamos criar a variável auxiliar “d”, dada por:

Fazemos assim: subtraímos da variável "X" a constante 25 (ponto médio da classe central) e dividimos por 10 (amplitude de classe). O resultado fica:

5	-2	22	-44
15	-1	13	-13
25	0	10	0
35	1	3	3
45	2	2	4
TOTAL		50	-50

Observação: não existe regra fixa para cálculo da variável “d”. O objetivo é usar qualquer transformação (envolvendo somas, subtrações, divisões e multiplicações de constantes) para chegarmos a números mais fáceis de se trabalhar.

Outra forma de cálculo muito comum em livros é subtrair X do ponto de maior frequência. Também dá certo. Aí vai do “gosto do freguês”.

Continuando.

Agora calculamos a média e a variância para “d”. Por quê? Porque para “d” os valores são menores, mais fáceis de se trabalhar.

A média de “d” fica:

Com o mesmo raciocínio, calculamos a média de

5	-2	4	22	88
15	-1	1	13	13
25	0	0	10	0
35	1	1	3	3
45	2	4	2	8
TOTAL			50	112

O que resulta em:

Agora é só aplicar a forma alternativa de cálculo da variância. A variância populacional é igual à diferença entre a média dos quadrados e o quadrado da média:

Na variância populacional, o denominador é “n”(= número de dados na amostra).

Mas nós queremos a variância amostral, com denominador “n – 1”. Então multiplicamos o resultado acima por “n”, para cancelar a divisão feita, e dividimos por “n – 1”, para chegarmos ao denominador desejado.

Essa é a variância amostral para “d”.

Agora calculamos a variância amostral para X. Assim:

Quando multiplicamos os dados por uma constante (10), a variância fica multiplicada pela constante ao quadrado (10²). Quando somamos uma constante aos dados (25), a variância não se altera.

Gabarito: C

Pronto. Usamos o cálculo alternativo da variância em conjunto com o emprego da variável auxiliar. Como fizemos?

Calculamos tudo para a variável auxiliar (média e variância). Depois usamos propriedades da variância para achar a dispersão da variável original (X).

É isso.

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Vítor

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