Distribuição exponencial

Hoje respondo a uma dúvida do Rodolfo, aluno do meu curso de Estatística para o STN. Ele pediu para eu detalhar melhor uma resolução apresentada para a questão abaixo:

PARANA PREVIDÊNCIA [CESPE]

Em estudos previdenciários, é importante avaliar o tempo de sobrevida dos beneficiários, o qual, em geral, depende do perfil do beneficiário. Esse perfil é composto por um conjunto de características como idade, espécie de benefício (aposentadoria por idade, invalidez etc.), tipo de clientela (urbana/rural), entre outras. Suponha que o tempo de sobrevida de beneficiários com um certo perfil seja uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro 0,1, cuja função densidade é dada por

para t > 0 e f(t) = 0, para t < 0. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, utilizando, quando necessário, os valores da tabela acima.

1. O tempo médio de sobrevida dos beneficiários é inferior a 5 anos.

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Resolução:

Rodolfo, uma coisa que não falei em aula é o seguinte. Usei essa questão apenas para treinarmos os conceitos trabalhados em aula (que foi sobre introdução às variáveis aleatórias). Por isso na resolução dada em aula eu apresentei a origem dos resultados (esperança e variância) da variável aleatória, isso usando as fórmulas de definição.

Contudo, existem distribuições “famosas”, em que a média e a variância já são bastante conhecidas, sem necessidade de se fazer todo o cálculo. Certamente a pretensão desta questão era que o candidato já soubesse tais resultados de cabeça. Isso porque a variável definida é a famosa “distribuição exponencial”, que tem justamente a função densidade dada por:

Ela tem momentos bem conhecidos, dados por:

No caso da questão,

Então temos, de imediato, esperança igual a 10 e variância igual a 100. Isso sem precisar fazer qualquer integral.

Contudo, em aula eu nem mencionei os resultados acima, afinal, nesta aula não trabalhamos as distribuições de probabilidade mais conhecidas. A distribuição exponencial chegou a ser trabalhada em aula posterior (aula sobre distribuições). Mas, com a retificação do edital, modifiquei a aula de distribuições, e exclui o tópico.

Em todo caso, mesmo com a distribuição exponencial tendo sido eliminada do edital, a questão ainda é perfeitamente útil, afinal, o cálculo da esperança e da variância, para qualquer que seja a variável, pode ser feito a partir das fórmulas de definição. E foi exatamente isso que trabalhamos na aula de introdução às variáveis aleatórias.

Bom, chega de papo e vamos lá. Vamos fazer a partir das fórmulas de definição.

Queremos calcular o tempo médio (ou a esperança da variável T).

Da definição de esperança, temos:

Da definição de esperança, temos:

Como a função vale zero para t < 0, temos:

A dúvida do Rodolfo foi: como fazer essa integral?

Primeiro vamos modificar um pouco:

Bom, fazendo mais passo a passo, é o seguinte. A derivada do produto de duas funções é:

Logo:

Portanto:

Na integral que queremos calcular, fazendo

Ficamos com:

Que é a esperança da variável aleatória.

Rodolfo, é isso, qualquer coisa, só falar.

Juros exatos, juros bancários e juros comerciais

Continuação da abordagem do tópico "juros simples":



 

Questões abordadas no vídeo:

Questão 19 - SEFAZ CE 2006 [ESAF]

Uma pessoa aplicou um capital a juro simples exato a uma taxa de 20% ao ano e ele cresceu 8% ao fim do prazo. Qual foi o prazo de aplicação do capital?

a) 144 dias

b) 146 dias

c) 150 dias

d) 153 dias

e) 155 dias

Questão 20 - SEFAZ/CE 2006 [ESAF]

Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1.608,00 em 100 dias?

a) R$ 20.000,00.

b) R$ 20.100,00.

c) R$ 20.420,00.

d) R$ 22.000,00.

e) R$ 21.400,00.

Questão 21 - SEFAZ-RJ 2008 [FGV]

Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinário de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00.

Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos, é:

a) R$ 6.500,00

b) R$ 7.850,00

c) R$ 8.017,00

d) R$ 8.820,00

e) R$ 8.000,00

Questão 22 - SEFAZ PB 2006 [FCC]

Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial.

Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é:

a) R$ 7,50

b) R$ 15,00

c) R$ 22,50

d) R$ 30,00

e) R$ 37,50

Questão 23 - ANTAQ 2009 [CESPE]

Sabendo-se que o ano de 2008 foi bissexto, conclui-se que uma quantia aplicada do dia 15 de janeiro até 10 de abril daquele ano à taxa de juros diários deve render o mesmo valor total de juros, não importando se o cálculo for feito por meio do método de juros comerciais ou de juros exatos.

Manipulação de somatório

No meu curso de estatística trabalhamos algumas igualdades envolvendo somatório. São elas:

Daí o Rodolfo, aluno do meu curso de estatística, pediu que eu apresentasse uma demonstração desses resultados.

Bem, uma demonstração formal, ficarei devendo. Mas dá para entender de onde vêm essas igualdades.

Vejamos, por exemplo, a segunda igualdade.

Vamos trabalhar com:

Primeiro fazemos o quadrado da diferença:

Agora separamos o somatório da soma em soma de somatórios:

Mas a média aritmética é uma constante. Podemos retirá-la do somatório:

No último termo, temos o somatório de uma constante. Estamos somando:

“n” vezes. Logo, o resultado será:

Lembrando a definição de média aritmética:

O que resulta em:

Podemos substituir isso na nossa expressão. Tínhamos parado no seguinte ponto:

Agora substituímos o valor de :

Que foi uma das igualdades envolvendo somatório que apresentamos em aula:

Fizemos bem devagar, para ficar claro cada passo. Mas dá para fazer bem mais rápido.

Vejamos agora com a variável Y, como fica:

Se vocês repararem bem, esta é exatamente a mesma igualdade utilizada na minha aula de medidas de dispersão, quando estudamos a forma alternativa de cálculo da variância. Lembrando. A fórmula de definição é:

Agora substituímos o numerador, usando a igualdade que aprendemos a calcular:

No primeiro termo, temos a média dos quadrados de X:

Que é a forma alternativa de cálculo da variância.

E para não passar batido, vamos para a última igualdade que está faltando:

Apesar de num primeiro momento parecer muito difícil fazer toda essa manipulação acima, se você tentar fazer sozinho algumas vezes, verá que é bem rápido. Então deixo ao critério de cada um. Se você preferir decorar as igualdades envolvendo somatório, decore. Se preferir deduzir rapidamente quando precisar, ok, também serve.

Só ressalto que elas são realmente importantes, pois são muito utilizadas nas aulas de regressão linear e de análise de variância.

Juros simples

Hoje iniciamos a abordagem de “juros simples”.



Seguem questões trabalhadas:

Questão 13 - CVM 2010 [ESAF]

Qual o valor mais próximo do montante que atinge uma dívida de R$ 2.000,00, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês?

a) R$ 2.115,00

b) R$ 2.092,00

c) R$ 2.090,00

d) R$ 2.105,00

e) R$ 2.120,00

Questão 14 - IRB 2006 [ESAF]

Um capital de 1000 unidades monetárias foi aplicado durante um mês a 3% ao mês, tendo o montante ao fim do mês sido reaplicado no segundo mês a 4% ao mês e o montante ao fim do segundo mês sido reaplicado no terceiro mês a 5% ao mês. Indique o montante ao fim do terceiro mês.

a) 1 170

b) 1 124,76

c) 1 120

d) 1 116,65

e) 1 110

Questão 15 - SUSEP 2002 [ESAF]

Um capital é aplicado a juros simples durante três meses e dez dias a uma taxa de 3% ao mês. Calcule os juros em relação ao capital inicial.

a) 9%

b) 10%

c) 10,5%

d) 11%

e) 12%

Questão 16 - SEFAZ RJ 2009 [FGV]

O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias, é de:

a) R$ 6.255,00

b) R$ 5.500,00

c) R$ 6.500,00

d) R$ 4.855,00

e) R$ 4.675,50

Questão 17 - SEFAZ SP 2009 [FCC]

Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ 28.933,60.

A soma dos juros das duas aplicações é igual a

(A) R$ 10.080,00

(B) R$ 8.506,80

(C) R$ 7.204,40

(D) R$ 6.933,60

(E) R$ 6.432,00

Questão 18 - ISS SP 2012 [FCC]

Em 05 de janeiro de certo ano, uma pessoa tomou R$ 10.000,00 emprestados por 10 meses, a juros simples, com taxa de 6% ao mês. Após certo tempo, encontrou um outro credor que cobrava taxa de 4% ao mês. Tomou, então, R$ 13.000,00 emprestados do segundo credor pelo resto do prazo e, no mesmo dia, liquidou a dívida com o primeiro. Em 05 de novembro desse ano, ao liquidar a segunda dívida, havia pago um total de R$ 5.560,00 de juros aos dois credores.

O prazo do segundo empréstimo foi

a) 6 meses.

b) 5 meses e meio.

c) 5 meses.

d) 4 meses e meio.

e) 4 meses.

Probabilidade MPOG 2005

Hoje resolvemos a seguinte questão da Esaf:

(ESAF 2005) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:

a) 80

b) 72

c) 90

d) 18

e) 56

Resolução:

Vamos dividir o problema em etapas. A primeira etapa vai ser escolher a cadeira de Paulo. A segunda etapa vai ser escolher a cadeira de Pedro.

Quando Paulo se senta na primeira cadeira da fila, para Pedro só há 8 opções. Pedro só pode sentar nas cadeiras de 3 a 10, de modo que haja pelo menos uma cadeira vazia entre eles.

Deste modo, alocando Paulo na primeira cadeira, há 8 modos de escolher a cadeira de Pedro.

Há 8 maneiras de os dois se sentarem, com Paulo na primeira cadeira, havendo pelo menos um lugar vago entre eles.

Analogamente, quando Paulo se sentar na última cadeira, Pedro só poderá se sentar nas cadeiras de 1 a 8.

Há 8 maneiras de os dois se sentarem, com Paulo na décima cadeira, havendo pelo menos um lugar vago entre eles.

Finalmente, Paulo ainda pode se sentar nas cadeiras de 2 a 9.

Neste caso, Pedro não poderá se sentar nem na cadeira imediatamente anterior, nem na cadeira imediatamente posterior, nem na própria cadeira escolhida por Paulo. Restarão, portanto, 7 opções de cadeira para Pedro.

Há 56 maneiras de Pedro e Paulo se sentarem com pelo menos uma cadeira vazia entre eles, de tal modo que Paulo ocupe uma das cadeiras de 2 a 9.

Somando tudo, temos:

Há 72 maneiras de eles ocuparem as cadeiras, deixando um lugar vazio entre eles.