Inequações–Susep 2010

Hoje resolvo uma questão a pedido do José Marcos e do Antônio Carlos, alunos do meu curso de RLQ:

SUSEP 2010 – ESAF

A inequação dada por

é definida no conjunto dos números reais, R, tem como solução o conjunto S representado por:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução.

Vou iniciar com a solução apresentada em aula.

Observem que todas as alternativas são muito semelhantes. Só o que muda é a inclusão ou não dos valores 0, 3/4 e 3.

Então só o que temos que saber é se estes valores satisfazem ou não a inequação.

Primeiro: testando o zero.

Basta substituir x por 0:

Temos uma divisão por zero, que é impossível. Logo, o zero não faz parte do conjunto solução.

Segundo caso: testando o 3/4.

Chegamos a uma expressão correta, pois, de fato, 2 é menor ou igual a 2. Logo, o número 3/4 faz parte do conjunto solução.

Terceiro caso: testando o número 3.

Chegamos em outra expressão correta (pois é verdade que zero é menor ou igual a 2). Portanto, o número 3 também faz parte do conjunto solução.

Com isso, concluímos que a alternativa correta é aquela que exclui o 0, inclui o 3/4 e inclui o 3.

Gabarito: D

Agora vejamos a solução que não parte direto para as alternativas. Essa foi a solução pedida pelo Antônio e pelo José.

Para que a solução exista, o denominador deve ser diferente de 0. Logo:

Além disso, para que o numerador exista, dentro da raiz quadrada devemos ter um número não negativo. Logo:

Ok, agora começamos a resolver a inequação.

1º caso: x > 0.

Multiplicando os dois lados da igualdade por “x”:

Elevando os dois lados ao quadrado:

Se estivéssemos diante de uma equação, teríamos:

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

Esses dois valores tornam nulo o valor de

Trata-se de uma parábola, com concavidade para cima. Ela assume valor negativo entre as raízes e positivo fora do intervalo entre as raízes. Nós estamos interessados justamente nos valores positivos e nulos (f(x) maior ou igual a zero))

Portanto:

• f(x) é igual a zero para x = -1 e para x = 3/4


• f(x) é maior que zero para x< -1 e para x>3/4

Lembrem-se de que nesse primeiro caso estamos trabalhando só com valores positivos de “x” . Além disso, “x” deve ser diferente de 0 (condição I), e menor ou igual a 3 (condição II). Então concluímos que f(x) será maior ou igual a zero para:

2º caso: x<0

Multiplicando os dois lados da igualdade por “x”:

A desigualdade se inverte, pois agora multiplicamos os dois lados por um número negativo.

Nem precisamos continuar analisando. Vejam que do lado esquerdo da igualdade temos 3 subtraído de um número negativo. Esse resultado é sempre positivo.

Exemplos:

E assim por diante.

Do lado direito da igualdade temos um número negativo (2 vezes “x”, que é negativo, dá negativo).

Qualquer número positivo é sempre maior que qualquer número negativo.

Então a desigualdade acima valerá sempre, para qualquer valor de “x” que obedeça a esse segundo caso (“x” negativo).

Logo, outra possibilidade de solução é:

Juntando (III) e (IV) temos o conjunto solução:

Ao meu ver não compensa esquentar muito a cabeça com essa segunda solução. Primeiro, esse tipo de questão é raro em prova de concursos. É mais comum só em vestibulares. Segundo, não precisamos ignorar as alternativas, pois elas sempre vão existir na hora da prova. A menos que seja prova do Cespe.