Questão sobre conjuntos da FCC

Hoje me deparei com uma interessante questão sobre conjuntos.

Segue enunciado:

(FCC – TRT 19ª Região)

Mapeando 21 funcionários quanto ao domínio das habilidades A, B e C, descobriu-se que nenhum deles dominava, simultaneamente, as três habilidades. Já com domínio de duas habilidades simultâneas há, pelo menos, uma pessoa em todas as possibilidades. Também há quem domine apenas uma dessas habilidades seja qual habilidade for. O intrigante no mapeamento é que em nenhum grupo, seja de domínio de uma ou de duas habilidades, há número igual de pessoas. Sabendo-se que o total daqueles que dominam a habilidade A são 12 pessoas e que o total daqueles que dominam a habilidade B também são 12 pessoas, o maior número possível daqueles que só dominam a habilidade C é igual a

a) 3

b) 1

c) 2

d) 4

e) 5

Resolução:

Montando o diagrama:

Notem que a intersecção entre os três conjuntos vale 0, pois ninguém domina simultaneamente as três habilidades.

Vejam que ao todo são 21 pessoas. Logo:

Foi dito ainda que todas estas quantias são diferentes entre si. Observem:

O intrigante no mapeamento é que em nenhum grupo, seja de domínio de uma ou de duas habilidades, há número igual de pessoas.

Assim:

Ou seja, todos estes números são inteiros e distintos entre si.

E, neste momento, temos que lembrar que a soma dos seis primeiros inteiros positivos é justamente 21:

Concluímos que a, b, c, d, e, f, valem, não necessariamente nesta ordem, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Desejamos calcular o valor máximo para “f” (pessoas que só dominam C). Vejam que, para calcular “f”, basta tomar o total de pessoas (21) e subtrair aquelas que têm as habilidades A ou B (união entre A e B):

Para maximizar “f”, temos que maximizar a intersecção entre A e B, que vale “b”.

Lembrem-se neste momento que as possibilidades para nossas incógnitas são 1, 2, 3, 4, 5, 6. Como a maior quantidade possível para determinado grupo é 6, concluímos que:

Logo:

Gabarito: A