Petrobras 2014–questão 21

Hoje resolvo a questão 21 da prova da Petrobrás, realizada pela Cesgranrio.

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Seja $ \theta$ um arco do primeiro quadrante, tal que

$\tan \theta = 3$

Sabendo-se que

$\sec \theta = 1 \div \cos \theta$

Desde que $ \cos \theta \ne 0$ , quanto vale $ \sec (2 \theta)$?

(A) - 0,8
(B) -1,25
(C) 0,8
(D) 1,25
(E) 10^0,5

Resolução:

$\tan \theta = 3 $

${\sin \theta \over \cos \theta} = 3 $

$\sin \theta = 3 \cos \theta $

$\sin ^2 \theta = 9 \cos ^2 \theta $

Além disso, sabemos que o quadrado do seno adicionado ao quadrado do cosseno resulta em 1:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$

$\cos ^2 \theta = 0,1$

O cosseno do arco duplo é dado por:

$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - 9 \cos^2 (\theta) = -8 \cos^2\theta = -0,8$

Finalmente:

$\sec (2 \theta) = {1 \over \cos (2 \theta)} = {1 \over -0,8}  = -1,25$

Resposta: B

CGU–Determinante e trigonometria

(CGU 2012 – ESAF) Calcule o determinante da matriz

a) 1

b) 0

c) cos 2x

d) sen 2x

e) sen x/2

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, multiplicamos os elementos da diagonal principal, multiplicamos os elementos da diagonal secundária, e fazemos a diferença:

Para resolver essa questão o aluno tinha que lembrar da fórmula do cosseno da soma:

Fazendo

obtemos

Outra opção, caso o candidato não lembrasse da fórmula, era jogar valores de ângulos conhecidos. Por exemplo, jogando x = 30, obtemos:

Agora testamos as alternativas:

Letra A: errado, o valor não deu 1

Letra B: errado, o valor não deu 0

Letra C: certo. Veja que o valor coincidiu com o cosseno de 60 (= 2 x 30).

Letra D: Errado. Veja que:

Que não coincide com o valor 1/2

Letra E: errado. Veja que:

que não é igual a 1/2, pois a função seno é crescente para ângulos entre 0 e 90. O seno de 15 tem que ser menor que o seno de 30, este sim igual a 1/2.

Resposta: C

Para mais questões comentadas, veja também www.tecconcursos.com.br.