Questões 29 e 30 do TCE/RS

Um aluno do TEC Concursos pediu a resolução das questões 7,9, 17,18, 21, 22, 23, 24,25, 27, 29, 30 do concurso do TCE/RS, para possível ingresso de recursos.

Vamos lá, vamos às questões. Neste post vamos com as questões 29 e 30, nas quais concordei com o gabarito da banca. Segue resolução

Para resolver às questões de números 26 a 30, considere os dados a seguir: Se Z tem distribuição normal padrão, então:

P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,64) = 0,950;

P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 2,24) = 0,987; P(Z < 2,33) = 0,99.

29. Suponha que se deseja testar a hipótese nula H0: μ = 50 versus a hipótese alternativa H1: μ = 48 com base numa amostra de tamanho n. O valor de n para que a probabilidade do erro do tipo I seja igual a 5,5% e a probabilidade do erro do tipo II seja 8,1% é dado por

(A) 81

(B) 144

(C) 100

(D) 64

(E) 121

Resolução:

Seja “k” o valor crítico, o valor que separa a decisão entre aceitar H0 ou rejeitar H0. Como as duas possibilidades de média são 48 e 50, natural esperar que “k” esteja entres estes dois valores, embora isso não seja obrigatório.

Note que a média amostral tem esperança igual a e variância dada por:

Bastou pegar a variância populacional e dividir por “n”. Assim o desvio padrão fica:

Erro de tipo I

Neste erro é dado que H0 é verdadeira. Ou seja, a média populacional verdadeira é 50.

O erro de tipo I ocorre quando rejeitamos H0, ou seja, quando a média amostral é menor que k. O escore da normal padrão fica:

Para que a chance de erro de tipo I seja igual a 5,5%, devemos ter:

Da tabela dada na prova, sabemos que:

Pela simetria da normal reduzida, temos:

O que nos leva a:

Assim:

Erro de tipo II

Neste erro é dado que H0 é falsa. Ou seja, a média populacional verdadeira é 48.

O erro de tipo II ocorre quando aceitamos H0, ou seja, quando a média amostral é maior que k. O escore da normal padrão fica:

Para que a chance de erro de tipo II seja igual a 8,1%, devemos ter:

Da tabela dada na prova, sabemos que:

O que nos leva a:

Assim:

Dividindo as duas equações:

Voltando em II:

Gabarito: A

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30) Um antropólogo está interessado em comparar as medidas do índice cefálico de duas populações de tribos indígenas A e B. Para isso tomou duas amostras aleatórias independentes, ambas de tamanho 16, de cada uma das tribos. A média amostral do índice cefálico da tribo A forneceu o valor de 75,2 e a da tribo B o valor 72,4. Considere que:

I. A variável valor do índice cefálico tem distribuição normal.

II. A média populacional do índice cefálico da população A é μ A e o desvio padrão é 4. A média populacional do índice cefálico da população B é μ B e o desvio padrão é 3.

O antropólogo considerou realizar o teste de hipóteses H0: μ A = μ B versus H1 : μ A > μ B

Sendo Z a estatística apropriada ao teste e K o valor observado dessa estatística, sob H0, baseado nas amostras, a probabilidade de Z ser maior do que K é igual a

(A) 1,8%

(B) 5,0%

(C) 1,3%

(D) 2,0%

(E) 2,5%

Resolução
A estatística teste é dada por:

A chance de Z ser maior que K é dada por:

Gabarito: C

Questão 25 do TCE/RS

Um aluno do TEC Concursos pediu a resolução das questões 7,9, 17,18, 21, 22, 23, 24,25, 27, 29, 30 do concurso do TCE/RS, para possível ingresso de recursos.

Vamos lá, vamos às questões. Neste post vamos com a questão 25, na qual concordei com o gabarito da banca. Segue resolução

Questão 25: Seja X a variável aleatória que representa o tempo, em minutos, requerido para que funcionários de certa indústria realizem um determinado serviço. Sabe-se que X tem distribuição normal com média μ e desvio padrão desconhecido. Com base numa amostra aleatória de X de tamanho 9, deseja-se testar a hipótese nula H0 : μ = 14 min versus a hipótese alternativa H1: μ > 14 min. Sabe-se que a amostra forneceu os seguintes resultados:

Nessas condições, o valor observado da estatística apropriada ao teste, sob H0 , é igual a

(A) 2,5

(B) 1,8

(C) 3

(D) 1,5

(E) 2

Resolução:

A média dos quadrados dos valores fica:

O quadrado da média fica:

A variância, com “n” no denominador, é dada pela diferença entre média dos quadrados e quadrado da média:

Em seguida, fazemos o ajuste para variância amostral. Basta multiplicar por “n” e dividir por “n-1”:

A variância da média amostral é igual à variância amostral dividida por “n”:

Por fim, o desvio padrão da média amostral fica:

A estatística teste é dada por:

Gabarito: C

Anac parte 3

Vejamos o último bloco das questões da ANAC 2009.

Segue enunciado:

(ANAC 2009 – CESPE) - Em uma pequena pesquisa encomendada por uma empresa aérea, foi realizado o seguinte teste de hipóteses. H 0 : µ = 20 kg versus H 1 : µ > 20 kg, em que µ representa a quantidade média de bagagens (em kg) que cada passageiro gostaria de transportar em voos domésticos; H 0 é a hipótese nula e H 1 é a hipótese alternativa.

De um grupo de 324 passageiros escolhidos ao acaso, a pesquisa mostrou que, em média, cada passageiro gostaria de transportar 21 kg. O desvio padrão amostral das quantidades observadas nesse levantamento foi igual a 9 kg. Com base nessas informações e considerando que as quantidades sigam uma distribuição normal, e que φ (1,7) = 0,955, φ (2,0) = 0,977 e φ (2,5) = 0,994, em que φ (z) representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue os itens seguintes.

46. A probabilidade de significância do teste é superior a 0,03.

47. Se o nível de significância for igual a 3,5%, então há evidências estatísticas contra a hipótese nula.

48. Se a média verdadeira for µ = 19,6, então, para uma probabilidade do erro do tipo I fixada em 4,5%, o valor da função característica de operação do teste será superior a 0,98.

49. Considerando-se que o nível de significância do teste igual a 0,6%, o valor da função poder (ou potência) do teste será igual a 0,5 se a média verdadeira µ for igual a 21kg.

50. Pode-se afirmar, com 95,5% de confiança, que a estimativa da quantidade média de bagagens : é de 21 kg ± 0,85 kg.

51. O desvio padrão amostral corresponde a uma estimativa não tendenciosa do desvio padrão populacional.

52. O erro padrão da média amostral é inferior a 0,8 kg.

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Em post anterior resolvemos até o item 48. Hoje retomamos a partir do 49:

Item 49.

Se o nível de significância é 0,6%, então o valor crítico, até o qual aceitamos a hipótese nula, é 2,5. Isso porque a probabilidade de valores mais extremos que 2,5 é justamente 0,6%:

A normal reduzida é assim calculada:

O desvio padrão da média amostral foi calculado em post anterior, e vale 0,5. O valor da normal reduzida que estamos analisando é 2,5. A média populacional sob a hipótese nula é 20. Logo:

Esse é o valor crítico a partir do qual rejeitamos a hipótese nula.

O poder do teste, na situação descrita no item 49, corresponde à chance de a média amostral ser menor que 21,5, dado que a média populacional é 21.

Vejam que a média amostral tem distribuição simétrica em torno de 21, de modo que a chance de ser menor que 21 é de 50%. Logo, a chance de ser menor que 21,5 necessariamente é diferente de 50%. Portanto, o item está errado.

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Item 50.

O intervalo de confiança tem o seguinte formato:

Onde Z0 é o valor da normal reduzida associado a 95,5% de confiança. O enunciado nos disse que tal valor é igual a 1,7. O intervalo de confiança fica:

Certo?

Errado!

O erro acima está no cálculo de Z0.

O valor procurado é tal que:

Logo:

O que resulta em:

O enunciado não nos deu tal valor, mas sabemos que é próximo de 2 (pois a função acumulada para Z = 2 vale 97,7%). Aproximando:

Item errado.

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Item 51.

Aqui é um detalhe bem bobo,que passa batido mesmo. Falamos que o estimador é tendencioso ou não tendencioso. Isso vale para o estimador, não para a estimativa. A estimativa é uma realização numérica, um valor, um número. Já o estimador é um método de cálculo.

Assim, o estimador:

É um estimador não tendencioso do desvio padrão populacional. Vejam que temos apenas uma fórmula, algora que vai assumir um valor diferente a cada amostra diferente. Para tal variável, podemos calcular a esperança e ver que ela coincide com o parâmetro estimado.

Já a realização numérica (9), é apenas uma estimativa, não cabendo falar em tendenciosidade ou não.

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Item 52.

Certo, vimos que tal erro vale 0,5.