Desconto Simples

Dando continuidade à nossa série de vídeos de matemática financeira, hoje abordamos “Descontos Simples”.

 [youtube=http://youtu.be/WBoS2XvPXt0]

Seguem enunciados trabalhados no vídeo:

Questão 31 - MTE 2010 [ESAF]

Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título?

a) R$ 60.000,00.

b) R$ 46.157,00.

c) R$ 56.157,00.

d) R$ 50.000,00.

e) R$ 55.000,00.

Questão 32 - CEF 2010 [CESPE]

Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a

A 5%.

B 6%.

C 7%.

D 8%.

E 9%.

Questão 33 - BASA 2009 [CESPE]

Considerando que a instituição financeira X ofereça aos clientes a taxa de desconto de 2,4% ao mês para desconto de títulos, e que a instituição concorrente Y ofereça uma redução de 25% na taxa praticada pela X, para descontos dos títulos com vencimentos em até 90 dias, então o valor atual, com desconto simples por fora, pago pela Y para um título com valor de face de R$ 1.000,00 e que vence em 2 meses é inferior a R$ 960,00

Questão 34 - STN 2005 [ESAF]

Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a:

a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês

b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês

c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano

d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano

e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês

Questão 35 - PREFEITURA DO RIO DE JANEIRO 2010 [ESAF]

Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título?

a) R$ 22.500,00

b) R$ 25.000,00

c) R$ 17.500,00

d) R$ 20.000,00

e) R$ 27.500,00

Questão 36 - MP RS 2008 [FCC]

Duas duplicatas com a soma dos respectivos valores nominais igual a R$ 22.000,00 são descontadas em um banco segundo uma operação de desconto bancário simples, a uma taxa de 36% ao ano. A primeira é descontada 2 meses antes de seu vencimento e a segunda 3 meses antes. Se a soma dos valores dos descontos das duas duplicatas foi igual a R$ 1.680,00, então o maior valor nominal das duplicatas, em R$, é igual a

(A) 15.000,00

(B) 18.000,00

(C) 12.000,00

(D) 14.000,00

(E) 16.000,00

Questão 37 - INFRAERO 2009 [FCC]

Um título de valor nominal igual a R$ 20.000,00 é descontado 3 meses antes de seu vencimento apresentando um valor atual de R$ 18.800,00, segundo uma operação de desconto comercial simples. Um outro título de valor nominal igual a R$ 25.000,00, descontado 2 meses antes de seu vencimento, com a mesma taxa mensal e operação de desconto do primeiro título, apresenta um desconto de valor igual a

(A) R$ 1.500,00

(B) R$ 1.200,00

(C) R$ 1.000,00

(D) R$ 900,00

(E) R$ 750,00

Variância CGU 2008

Olá pessoal. O Carlos, aluno do meu curso de estatística para o STN, pediu que eu resolvesse a questão abaixo usando a fórmula alternativa de cálculo para a variância.

Segue enunciado:

CGU 2008 [ESAF]

Calcule o valor mais próximo do desvio-padrão da amostra representada pela distribuição de frequências abaixo representada pelos pontos médios das classes x e respectivas frequências f.

a) 1.

b) 2,44.

c) 5,57.

d) 7,056.

e) 10.

Resolução:

Primeiro, vou iniciar pela fórmula de definição. É a mesma solução já apresentada em aula.

Para calcular o desvio-padrão, precisamos dos desvios em relação à média aritmética. Portanto, o primeiro passo é encontrar a média aritmética.

Para tanto, criamos a coluna adicional, em que multiplicamos cada valor de x pela sua frequência:

A média fica:

Um detalhe. Para esta série de dados, especificamente, não era necessário fazer o cálculo para chegar à média. Temos uma sequência simétrica. A média é simplesmente o termo do meio.

Agora podemos calcular os desvios (e) em relação à média:

Podemos agora calcular a média dos desvios ao quadrado:

A média dos desvios ao quadrado é a variância:

Agora um detalhe. Estamos trabalhando com uma amostra.

Sempre que trabalhamos com uma amostra, a variância é dita “variância amostral”. Estamos, na verdade, a partir de uma amostra, estimando a variância da população.

Para que este estimador possua uma característica importante, de modo que possamos classifica-lo como não viciado, é necessário que o denominador da variância seja trocado. Em vez de dividirmos por ‘n’, dividimos por “n – 1”. Nestes casos, o símbolo geralmente utilizado para a variância é s².

E o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância:

Gabarito: E

Agora, atendendo ao pedido do Carlos, segue nova solução, utilizando o método alternativa de cálculo da variância.

O primeiro passo é calcular a média. Já sabemos que vale 25.

O segundo passo é calcular a média dos quadrados:

Logo, a média dos quadrados fica:

A variância populacional é dada pela diferença entre a média dos quadrados e o quadrado da média:

Para calcular a variância amostral, aplicamos o fator de ajuste:

Logo:

Que é o mesmo resultado anteriormente obtido.

Análise combinatória

Na aula do meu curso de Raciocínio Lógico para STN, utilizei a questão abaixo, que trata de análise combinatória. A questão gerou dúvidas no fórum do curso, por isso resolvi abordá-la com maior detalhe. Segue enunciado:

(AFRFB 2009) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

a) 16

b) 28

c) 15

d) 24

e) 32

Resolução.

Começando com a solução apresentada em aula.

Para formar uma reta, nós precisamos de 2 pontos. Assim, o número total de retas é dado por:

Só que tem um problema na resolução acima. Sejam A, B, C, D os pontos coplanares. Todos os pares de pontos escolhidos entre estes 4 definem a mesma reta. Exemplo:

A, B

A, C

B, D

As retas definidas por estes 3 pares de pontos não são diferentes entre si. É a mesma reta.

Assim, nas 21 retas definidas acima, temos mais retas que as de fato existentes.

Vamos ver quantas retas foram contadas, incluindo dois pontos escolhidos entre A, B, C, D.

Deste modo, as 6 retas definidas pelos pares de pontos tomados entre A, B, C, D são, na verdade, 1 reta só. Ou seja, 5 retas estão “sobrando”, estão sendo contadas em excesso, indevidamente.

O número correto de retas fica:

Gabarito: A

A dúvida foi a seguinte: por que não fizemos a combinação de 7 pontos, tomados 4 a 4?

Nós utilizaríamos tal combinação se, de um grupo de 7 pontinhos, quiséssemos escolher 4. Mas não é o caso. O foco da questão é calcular a quantidade de retas. E cada reta é formada por dois pontinhos. São dois pontos que definem uma reta, e não 4.

Para melhor esclarecimento, considerem que temos 7 pontinhos, conforme abaixo desenhado:

 

Desenhamos 7 pontos, de modo que 4 deles são colineares, como determinado pelo enunciado. Agora nosso interesse é contar quantas retas é possível formar. Então basta irmos ligando dois pontos quaisquer, pois dois pontos definem uma reta. Abaixo, representamos as 6 primeiras retas:

Vejam que escolhemos um ponto em particular e, a partir dele, fomos traçando retas, ligando-o aos demais pontos. Então o que é relevante é de quantas formas podemos tomar dois pontinhos para formar retas (combinação de elementos, tomados 2 a 2).

Abaixo, seguem mais 5 retas:

Agora mais 4 retas:

E, finalmente, pelo fato de haver 4 pontinhos colineares, eles acabam definindo uma reta só, que é a que falta:

Total de retas: 6 + 5 + 4 + 1 = 16. São 16 retas ao todo.

Prova Banco do Brasil 2013

Hoje resolvemos a prova do Banco do Brasil, feito pela FCC.

 

Seguem enunciados trabalhados no vídeo:

Depois de ter comprado 15 livros de mesmo preço unitário, Paulo verificou que sobraram R$ 38,00 em sua posse, e faltaram R$ 47,00 para comprar outro livro desse mesmo preço unitário. O valor que Paulo tinha inicialmente para comprar seus livros era, em R$, de

(A) 1.225,00.

(B) 1.305,00.

(C) 1.360,00.

(D) 1.313,00.

(E) 1.228,00.

Renato aplicou R$ 1.800,00 em ações e, no primeiro dia, perdeu 1/2 do valor aplicado. No segundo dia Renato ganhou 4/5 do valor que havia sobrado no primeiro dia, e no terceiro dia perdeu 4/9 do valor que havia sobrado no dia anterior. Ao final do terceiro dia de aplicação, Renato tinha, em R$,

(A) 820,00.

(B) 810,00.

(C) 800,00.

(D) 900,00.

(E) 1.200,00.

Nos quatro primeiros dias úteis de uma semana o gerente de uma agência bancária atendeu 19, 15, 17 e 21 clientes. No quinto dia útil dessa semana esse gerente atendeu n clientes. Se a média do número diário de clientes atendidos por esse gerente nos cinco dias úteis dessa semana foi 19, a mediana foi

(A) 19.

(B) 18.

(C) 20.

(D) 23.

(E) 21.

Certo capital foi aplicado por um ano à taxa de juros de 6,59% a.a. Se no mesmo período a inflação foi de 4,5%, a taxa real de juros ao ano dessa aplicação foi, em %, de

(A) 2,2.

(B) 1,9.

(C) 2,0.

(D) 2,1.

(E) 1,8

Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC) à taxa de 4% ao semestre. O quadro demonstrativo abaixo contém, em cada instante do tempo (semestre), informações sobre o saldo devedor (SD), a amortização (A), o juro (J) e a prestação (P) referentes a esse empréstimo. Observe que o quadro apresenta dois valores ilegíveis.

Se o quadro estivesse com todos os valores legíveis, o valor correto da prestação P, no último campo à direita, na linha correspondente ao semestre 5, da tabela, seria de

(A) 167.500,00.

(B) 166.400,00.

(C) 162.600,00.

(D) 168.100,00.

(E) 170.300,00

O supervisor de uma agência bancária obteve dois gráficos que mostravam o número de atendimentos realizados por funcionários. O Gráfico I mostra o número de atendimentos

realizados pelos funcionários A e B, durante 2 horas e meia, e o Gráfico II mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários C, D e E, durante 3 horas e meia.

Observando os dois gráficos, o supervisor desses funcionários calculou o número de atendimentos, por hora, que cada um deles executou. O número de atendimentos, por hora, que o funcionário B realizou a mais que o funcionário C é

(A) 3.

(B) 10.

(C) 5.

(D) 6.

(E) 4.

Preocupado com o horário de maior movimento, que se dá entre meio dia e uma e meia da tarde, o supervisor colocou esses cinco funcionários trabalhando simultaneamente nesse período. A partir das informações dos gráficos referentes ao ritmo de trabalho por hora dos funcionários,o número de atendimentos total que os cinco funcionários fariam nesse período é

(A) 57.

(B) 19.

(C) 38.

(D) 45.

(E) 10.

Uma corretora de seguros negocia cinco tipos de apólices de seguros denominadas I , II , III , IV e V . Nos primeiros vinte dias do mês, a corretora negociou 1.240 apólices. O Gráfico A mostra a participação, em porcentagem, de cada um dos tipos de apólice nesses 1.240 negócios. O Gráfico B mostra, em porcentagem, a meta de participação nos negócios a ser alcançada até o fim do mês por tipo de apólice. Sabe-se que a meta a ser atingida é a de negociação de 1.500 apólices no mês.

Gráfico A:

Gráfico B:

O número de negociações, ainda necessárias, da apólice V , para alcançar exatamente a meta prevista para ela, é:

(A) 75.

(B) 163.

(C) 124.

(D) 62.

(E) 225.

O tipo de apólice que deve ser menos negociada, no tempo que ainda falta, para que a meta seja exatamente atingida, é a apólice

(A) IV .

(B) II .

(C) III .

(D) I .

(E) V .

Considere que os preços de negociação das apólices sejam 1 unidade monetária para a apólice I , 2 unidades monetárias para a apólice II , 3 unidades monetárias para a apólice III , 4 unidades monetárias para a apólice IV e 5 unidades monetárias para a apólice V .

Se a meta mensal de 1.500 negociações, com participação conforme descrito no gráfico B, for atingida, a participação da apólice IV na arrecadação total das negociações realizadas nesse mês, em porcentagem aproximada, é igual a

(A) 48.

(B) 40.

(C) 35.

(D) 45.

(E) 42.

Taxa, capital e prazo médios

Hoje temos o sexto vídeo da série de matemática financeira.



Seguem enunciados trabalhados no vídeo de hoje:

Questão 28 - AFRF 2003 [ESAF]

Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.

a) 2,9%

b) 3%

c) 3,138%

d) 3,25%

e) 3,5%

Questão 29 - AFRF 2002-1 [ESAF]

Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais.

a) quatro meses

b) quatro meses e cinco dias

c) três meses e vinte e dois dias

d) dois meses e vinte dias

e) oito meses

Questão 30 - SEFAZ-RJ 2008 [FGV]

Os valores de R$ 50.000 e R$ 100.000 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente.

O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é:

a) 12

b) 8

c) 10

d) 9,2

e) 7,5

Observação: todos os links para os vídeos da série de matemática financeira, e todos os arquivos com enunciados e gabaritos podem ser encontrados no seguinte endereço: http://exatasparaconcursos.wordpress.com/cursos-em-andamento/

Dados em classe

Hoje trago a questão abaixo, pedida pelo Leandro, aluno do meu curso de estatística.

GDF SEJUS 2010 [UNIVERSA]

A tabela a seguir evidencia uma entrevista feita com 50 clientes, dividida por faixa etária

Com base nos dados dessa entrevista, é correto afirmar que

(A) há, na primeira faixa etária, ao menos 1 entrevistado com 25 anos.

(B) 12% dos entrevistados têm mais de 40 anos de idade.

(C) pelo menos 1 entrevistado, na terceira faixa etária, tem 32 anos.

(D) 48% dos entrevistados têm entre 18 e 32 anos.

(E) 88% dos entrevistados têm menos de 40 anos de idade.

Resolução:

Alternativa A – INCORRETA. O símbolo indica que o intervalo é:

• fechado à esquerda (ou seja, o limite inferior, de 18, faz parte do intervalo)
• aberto à direita (o limite superior, de 25, não faz parte do intervalo)
Logo, a idade 25 não faz parte da primeira faixa etária.

Alternativa B – INCORRETA. Só os 6 clientes da última classe têm 40 anos ou. Esses 6 clientes realmente representam 12% dos entrevistados. Veja que 12% de 50 clientes é realmente igual a 6:

O detalhe é que não temos como garantir que todos esses 6 clientes têm mais de 40 anos. Eles podem ter exatamente 40 anos.

Alternativa C – INCORRETA. Na terceira faixa temos entrevistados com idade de 32 (inclusive) a 40 (exclusive). Mas isso não nos garante que algum deles tenha exatamente 32 anos. Poderia ocorrer, por exemplo, de as idades serem: 33; 33,5; 34; 34,5; 35; 35,5; 36; 38. Encontramos um contra-exemplo em que nenhum dos clientes dessa classe têm 32 anos.

Alternativa D – INCORRETA. No intervalo de 18 a 32, temos as pessoas das duas primeiras classes. São 12 + 24 = 36 pessoas nesta situação.

Tais pessoas correspondem a 72% do total (e não 48%)

Alternativa E – CORRETA. Na letra B vimos que 12% têm de 40 anos para cima. Portanto,

88% têm menos de 40 anos. Alternativa correta.

Gabarito: E

Taxas equivalentes no regime simples

Continuação da série de vídeos de matemática financeira. Este é o quinto da série:



 

Enunciados trabalhados no vídeo:

Questão 24 - SEFAZ SP 2009 [ESAF]

Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital?

a) 4%

b) 10%

c) 60%

d) 54%

e) 48%

Questão 25 - BANCOP 2007 [CESPE]

Suponha que um capital C aplicado por 12 meses à taxa de juros simples de i% ao mês se transforme em um montante de R$ 37.000,00. Esse mesmo capital aplicado à mesma taxa, no mesmo regime de juros, mas por 6 meses se transforma em um montante de R$ 31.000,00. Nessa situação, a taxa anual equivalente à taxa de i% é

A inferior a 37%.

B superior ou igual a 37% e inferior a 40%.

C superior ou igual a 40% e inferior a 43%.

D superior ou igual a 43% e inferior a 46%.

E superior ou igual a 46%.

Questão 26 - GDF SEPLAG 2009 [UNIVERSA]

Uma empresa aplicou, em uma instituição financeira, R$ 50.000,00, resgatando R$ 54.000,00 quatro meses depois. Assinale a alternativa que determina a taxa de juros simples equivalente, auferida nesta aplicação.

(A) 6% ao trimestre.

(B) 4% ao quadrimestre.

(C) 22 % ao ano.

(D) 10% ao semestre.

(E) 1,5% ao mês.

Questão 27 - SEFAZ-RJ 2008 [FGV]

A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de:

a) 15,00%

b) 1,50%

c) 18,00%

d) 9,00%

e) 12,00%