Condicional associado ao argumento

 

Hoje veremos uma interessante forma de analisar se um condicional é ou não tautológico.

Vou dar um exemplo com duas premissas e uma conclusão. Mas é só um exemplo. O que vem a seguir vale para qualquer argumento, com qualquer número de premissas.

Sejam a e b duas premissas. Seja c a conclusão. O argumento pode ser escrito assim:

A esse argumento pode ser associado o seguinte condicional:

Nesse condicional, nós temos um “e” unindo as premissas. E o consequente (segunda parcela) é a conclusão do argumento.

Se o argumento for válido, então esse condicional é uma tautologia. E vice-versa. Se esse condicional for uma tautologia, o argumento é válido. Dizemos que o argumento é válido se e somente se o condicional a ele associado é tautológico.

Estendendo o conceito para n premissas, temos:

O argumento

é válido se e somente se o condicional

for uma tautologia.

Vimos acima que, se o argumento é válido, o condicional a ele associado é tautológico. E se o condicional é tautológico, então o argumento associado é válido.

Isso pode ser entendido da seguinte forma. Nas linhas da tabela-verdade em que pelo menos uma das premissas é falsa, o condicional é verdadeiro, de cara (pois seu antecedente é falso). E essas linhas pouco importam para gente, pois, dentro de um argumento, só nos interessam as linhas da tabela verdade em que as premissas são verdadeiras.

Ok, agora vamos para as linhas da tabela-verdade em que todas as premissas são verdadeiras. Nessas linhas, se a conclusão também for verdadeira, então o argumento é válido. E, além disso, o condicional a ele associado também assume o valor lógico verdadeiro, o que faz dele uma tautologia.

Caso contrário, se, em pelo menos uma das linhas em que as premissas são verdadeiras, a conclusão for falsa, o argumento será inválido. Além disso, o condicional a ele associado não será mais uma tautologia.

O conceito de condicional associado a um argumento válido pode ser utilizado para identificar tautologias.

Exemplo:

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AFT (Esaf)

Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

 

Resolução:

Todas as alternativas trabalham com as mesmas proposições simples, a saber:

p: João é alto

q: Guilherme é gordo

E todas as alternativas trazem condicionais. O condicional tautológico será aquele que pode ser associado a um argumento válido.

Letra A: “se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo”

Vamos passar esta frase para a forma simbólica?

Podemos dividir esta frase em duas parcelas:

1ª - João é alto

2ª - João é alto ou Guilherme é gordo

A segunda parte é um “ou”: João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q)

A ligação entre a primeira parte e a segunda é feita por um condicional.

Vejamos: se João é alto (p), então João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q)

Representamos esta frase assim:

Este condicional pode ser associado ao seguinte argumento:

Premissa: p

Conclusão:

Notem que se “p” for verdadeiro (premissa verdadeira), isso já garante, automaticamente, que “” é verdadeiro (conclusão verdadeira).

Isso ocorre porque a proposição composta pelo “ou” é V se pelo menos uma de suas parcelas for verdadeira. Como já sabemos que a primeira parcela é V (“p” é verdadeiro), então a conclusão necessariamente é V, independente do valor lógico de “q”.

 

Ou seja, o argumento é válido (premissa verdadeira acarreta em conclusão verdadeira). Logo, o condicional associado é tautológico.

Pronto. Achamos nossa resposta.

Gabarito: A

Letra b: “se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo”

Agora nosso condicional fica:

O argumento correspondente é:

Premissa:

Conclusão:

O simples fato de a premissa ser verdadeira (p) verdadeiro não nos permite concluir que a conclusão também seja. A conclusão apresenta o conectivo “e”. Ela só será verdadeira se ambas as parcelas forem V.

Uma das parcelas (p), já sabemos que é V. Mas a outra, “q”, nada sabemos sobre ela. Então nada podemos concluir sobre a proposição composta “p e q”

O argumento não é válido. Então o condicional não é tautológico.

 

Letra C: “se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo”

O condicional fica:

O argumento correspondente é:

Premissa:

Conclusão: q

Saber que a premissa é verdadeira nos indica que pelo menos uma das proposições simples (p ou q) é verdadeira.

Ou seja, sabemos que pelo menos uma das duas (p ou q) é verdadeira, mas não sabemos se são as duas, ou só uma. E, caso apenas uma delas seja verdadeira, não sabemos qual é.

A conclusão já afirma que “q” é verdadeira. Esse é o erro – acabamos de ver que não temos como descobrir qual das duas proposições simples (p ou q) é verdadeira.

 

Letra D: “se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo”

Condicional:

Argumento:

Premissa:

Conclusão:

Saber que a premissa é verdadeira nos indica que pelo menos uma das proposições simples (p ou q) é verdadeira.

Ou seja, sabemos que pelo menos uma das duas (p ou q) é verdadeira, mas não sabemos se são as duas, ou só uma. E, caso apenas uma delas seja verdadeira, não sabemos qual é.

A conclusão já afirma que ambas (p e q) são verdadeiras. Esse é o erro – acabamos de ver que não temos como descobrir qual das duas proposições simples (p ou q) é verdadeira. Pior ainda seria dizer que ambas são verdadeiras.

 

Letra E: se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Condicional:

Argumento:

Premissa: p

Conclusão: q

Vejam que a premissa em nada ajuda a descobrir a veracidade da conclusão. Saber que “P” ocorre em nada ajuda a identificar qualquer coisa sobre “Q”. O argumento é inválido. Logo, o condicional não é tautológico.

Ministério da Integração Nacional 2013

Olá pessoal, hoje resolvo a prova do Ministério da Integração Nacional 2013, atendendo ao pedido da Roberta.

Ainda não foi liberado o gabarito preliminar da banca, então o que irá constar aqui são as respostas a que eu cheguei, e não a posição oficial.

Julgue os itens seguintes, relativos a sistemas numéricos e sistema legal de medidas.

33) Se A = 1,232323... e B = 0,434343..., então

 

Resolução:

Subtraindo as duas equações:

Podemos fazer a mesma coisa com B:

Somando A e B:

Item correto.

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34) Se a área da fazenda Y for igual a 23 km² e a área da fazenda Z for igual a 2.300.000 m², então a área da fazenda Y será menor que a área da fazenda Z.

 

Resolução.

Temos que lembrar que 1 km = 1.000 m. Assim:

A área de Y é igual a 23 milhões de metros quadrados.

Já a área de Z é igual a 2 milhões e trezentos mil metros quadrados.

A área de Y é maior. Item errado.

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35) Considere que, para garantir o abastecimento de água durante determinado período de seca, tenha sido construído, em uma propriedade, um reservatório com capacidade para armazenar 10.000 dm³ de água. Nesse caso, o reservatório não transbordará se nele forem depositados 20.000 L de água.

 

Resolução.

Temos que lembrar que 1 dm3 corresponde a 1 L de água. Logo, no reservatório cabem 10.000 dm3 = 10.000 litros de água.

Tentarmos colocar 20.000 L de água (o dobro da capacidade), certamente irá transbordar.

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36) A soma

é inferior a 2.

 

Resolução.

Caso a soma prosseguisse infinitamente

teríamos a soma dos infinitos termos de uma PG com razão entre 0 e 1. Esta soma é dada por:

Onde a₁ é o primeiro termo da PG (vale 1) e “q” é a razão (vale 0,5).

Lembrando, uma PG é uma sequência em que a razão entre dois números seguidos é constante (igual a “q”).

A soma dos infinitos termos fica:

No entanto, como não somamos de fato todos os infinitos termos, a soma será um pouco menor que 2. Item correto.

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Determinada construtora emprega 200 empregados na construção de cisternas em cidades assoladas por seca prolongada. Esses empregados, trabalhando 8 horas por dia, durante 3 dias, constroem 60 cisternas. Com base nessas informações e considerando que todos os empregados sejam igualmente eficientes, julgue os itens que seguem.

37) Se todos os empregados trabalharem 12 horas por dia durante 2 dias, então eles construirão, nesse período, mais de 55 cisternas.

 

Resolução.

Basta fazermos uma regra de três.

Vamos tomar a quantidade de cisternas como grandeza de comparação. E a partir dela, analisamos as demais.

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais horas por dia de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais dias de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Agora montamos as frações. Deixamos a fração correspondente à grandeza “quantidade de cisternas” de um lado da igualdade (pois foi nossa referência). Do outro lado ficam as demais grandezas, multiplicando.

Item certo

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38) Se, do início do ano até o presente momento, 800 cisternas tiverem sido construídas, e isso corresponder a 16% do total previsto para o ano, então, para se atingir a meta do ano, será necessário construir mais 4.200 novas cisternas.

Resolução:

Se já foi feito 16% do total, faltam 100% - 16% = 84%

16% corresponde a 800 cisternas

84% corresponde a x cisternas

16% ---- 800

84% ---- x

Multiplicando cruzado:

Item certo

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39) Considere que, de 1.250 cisternas construídas, 8% delas tiveram de ser refeitas por apresentarem defeitos de várias naturezas. Considere, ainda, que, das cisternas que apresentaram defeitos, 15% foram retiradas por terem apresentado vazamentos. Em face desta situação, é correto afirmar que, das 1.250 cisternas construídas, menos de 1,3% delas foram refeitas por apresentarem vazamentos.

 

Resolução.

8% das 1.250 cisternas tiveram defeito. E, destas, 15% foram por vazamento.

15% de 8% corresponde a:

1,2% realmente é menor que 1,3%. Item certo.

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40) Se os empregados trabalharem 8 horas por dia, durante 7 dias, eles construirão, nesse período, mais de 145 cisternas.

 

Resolução.

Basta fazermos uma regra de três.

Nem foi necessário usar a grandeza “horas de trabalho por dia”, pois ela foi mantida constante.

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais dias de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Então basta multiplicar cruzado:

Item errado

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41) Se todos os empregados trabalharem 10 horas por dia, durante 3 dias, eles construirão, nesse período, mais de 70 cisternas.

Resolução:

Basta fazermos uma regra de três.

Nem foi necessário usar a grandeza “dias de trabalho”, pois ela foi mantida constante.

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais horas por dia de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Então basta multiplicar cruzado:

Item certo

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42) Se todos os empregados trabalharem 6 horas por dia, durante 8 dias, então, nesse período, eles construirão menos de 110 cisternas.

Resolução:

Basta fazermos uma regra de três.

Vamos tomar a quantidade de cisternas como grandeza de comparação. E a partir dela, analisamos as demais.

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais horas por dia de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais dias de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Agora montamos as frações. Deixamos a fração correspondente à grandeza “quantidade de cisternas” de um lado da igualdade (pois foi nossa referência). Do outro lado ficam as demais grandezas, multiplicando.

Item errado

RLQ MPU 2013 - parte 1

Hoje iniciamos a resolução da prova de RLQ do MPU. Segue vídeo:

[youtube=http://youtu.be/W2aRiytoht4]

Questões trabalhadas no vídeo:

Nos termos da Lei n.º 8.666/1993, “É dispensável a realização de nova licitação quando não aparecerem interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração”.

Considerando apenas os aspectos desse mandamento atinentes à lógica e que ele seja cumprido se, e somente se, a proposição nele contida, — proposição P — for verdadeira, julgue os itens seguintes.

43. O gestor que dispensar a realização de nova licitação pelo simples fato de não ter aparecido interessado em licitação anterior descumprirá a referida lei.

44. A negação da proposição “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “A licitação anterior somente poderá ser repetida com prejuízo para a administração”.

45) A negação da proposição “Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração”.

46) A proposição P é equivalente a “Se não apareceram interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração, então é dispensável a realização de nova licitação”.

47) Supondo-se que a proposição P e as proposições “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” e “É dispensável a realização de nova licitação” sejam verdadeiras, é correto concluir que também será verdadeira a proposição “Não apareceram interessados em licitação anterior”.