Análise combinatória

Na aula do meu curso de Raciocínio Lógico para STN, utilizei a questão abaixo, que trata de análise combinatória. A questão gerou dúvidas no fórum do curso, por isso resolvi abordá-la com maior detalhe. Segue enunciado:

(AFRFB 2009) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

a) 16

b) 28

c) 15

d) 24

e) 32

Resolução.

Começando com a solução apresentada em aula.

Para formar uma reta, nós precisamos de 2 pontos. Assim, o número total de retas é dado por:

Só que tem um problema na resolução acima. Sejam A, B, C, D os pontos coplanares. Todos os pares de pontos escolhidos entre estes 4 definem a mesma reta. Exemplo:

A, B

A, C

B, D

As retas definidas por estes 3 pares de pontos não são diferentes entre si. É a mesma reta.

Assim, nas 21 retas definidas acima, temos mais retas que as de fato existentes.

Vamos ver quantas retas foram contadas, incluindo dois pontos escolhidos entre A, B, C, D.

Deste modo, as 6 retas definidas pelos pares de pontos tomados entre A, B, C, D são, na verdade, 1 reta só. Ou seja, 5 retas estão “sobrando”, estão sendo contadas em excesso, indevidamente.

O número correto de retas fica:

Gabarito: A

A dúvida foi a seguinte: por que não fizemos a combinação de 7 pontos, tomados 4 a 4?

Nós utilizaríamos tal combinação se, de um grupo de 7 pontinhos, quiséssemos escolher 4. Mas não é o caso. O foco da questão é calcular a quantidade de retas. E cada reta é formada por dois pontinhos. São dois pontos que definem uma reta, e não 4.

Para melhor esclarecimento, considerem que temos 7 pontinhos, conforme abaixo desenhado:

 

Desenhamos 7 pontos, de modo que 4 deles são colineares, como determinado pelo enunciado. Agora nosso interesse é contar quantas retas é possível formar. Então basta irmos ligando dois pontos quaisquer, pois dois pontos definem uma reta. Abaixo, representamos as 6 primeiras retas:

Vejam que escolhemos um ponto em particular e, a partir dele, fomos traçando retas, ligando-o aos demais pontos. Então o que é relevante é de quantas formas podemos tomar dois pontinhos para formar retas (combinação de elementos, tomados 2 a 2).

Abaixo, seguem mais 5 retas:

Agora mais 4 retas:

E, finalmente, pelo fato de haver 4 pontinhos colineares, eles acabam definindo uma reta só, que é a que falta:

Total de retas: 6 + 5 + 4 + 1 = 16. São 16 retas ao todo.

Prova Banco do Brasil 2013

Hoje resolvemos a prova do Banco do Brasil, feito pela FCC.

 

Seguem enunciados trabalhados no vídeo:

Depois de ter comprado 15 livros de mesmo preço unitário, Paulo verificou que sobraram R$ 38,00 em sua posse, e faltaram R$ 47,00 para comprar outro livro desse mesmo preço unitário. O valor que Paulo tinha inicialmente para comprar seus livros era, em R$, de

(A) 1.225,00.

(B) 1.305,00.

(C) 1.360,00.

(D) 1.313,00.

(E) 1.228,00.

Renato aplicou R$ 1.800,00 em ações e, no primeiro dia, perdeu 1/2 do valor aplicado. No segundo dia Renato ganhou 4/5 do valor que havia sobrado no primeiro dia, e no terceiro dia perdeu 4/9 do valor que havia sobrado no dia anterior. Ao final do terceiro dia de aplicação, Renato tinha, em R$,

(A) 820,00.

(B) 810,00.

(C) 800,00.

(D) 900,00.

(E) 1.200,00.

Nos quatro primeiros dias úteis de uma semana o gerente de uma agência bancária atendeu 19, 15, 17 e 21 clientes. No quinto dia útil dessa semana esse gerente atendeu n clientes. Se a média do número diário de clientes atendidos por esse gerente nos cinco dias úteis dessa semana foi 19, a mediana foi

(A) 19.

(B) 18.

(C) 20.

(D) 23.

(E) 21.

Certo capital foi aplicado por um ano à taxa de juros de 6,59% a.a. Se no mesmo período a inflação foi de 4,5%, a taxa real de juros ao ano dessa aplicação foi, em %, de

(A) 2,2.

(B) 1,9.

(C) 2,0.

(D) 2,1.

(E) 1,8

Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC) à taxa de 4% ao semestre. O quadro demonstrativo abaixo contém, em cada instante do tempo (semestre), informações sobre o saldo devedor (SD), a amortização (A), o juro (J) e a prestação (P) referentes a esse empréstimo. Observe que o quadro apresenta dois valores ilegíveis.

Se o quadro estivesse com todos os valores legíveis, o valor correto da prestação P, no último campo à direita, na linha correspondente ao semestre 5, da tabela, seria de

(A) 167.500,00.

(B) 166.400,00.

(C) 162.600,00.

(D) 168.100,00.

(E) 170.300,00

O supervisor de uma agência bancária obteve dois gráficos que mostravam o número de atendimentos realizados por funcionários. O Gráfico I mostra o número de atendimentos

realizados pelos funcionários A e B, durante 2 horas e meia, e o Gráfico II mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários C, D e E, durante 3 horas e meia.

Observando os dois gráficos, o supervisor desses funcionários calculou o número de atendimentos, por hora, que cada um deles executou. O número de atendimentos, por hora, que o funcionário B realizou a mais que o funcionário C é

(A) 3.

(B) 10.

(C) 5.

(D) 6.

(E) 4.

Preocupado com o horário de maior movimento, que se dá entre meio dia e uma e meia da tarde, o supervisor colocou esses cinco funcionários trabalhando simultaneamente nesse período. A partir das informações dos gráficos referentes ao ritmo de trabalho por hora dos funcionários,o número de atendimentos total que os cinco funcionários fariam nesse período é

(A) 57.

(B) 19.

(C) 38.

(D) 45.

(E) 10.

Uma corretora de seguros negocia cinco tipos de apólices de seguros denominadas I , II , III , IV e V . Nos primeiros vinte dias do mês, a corretora negociou 1.240 apólices. O Gráfico A mostra a participação, em porcentagem, de cada um dos tipos de apólice nesses 1.240 negócios. O Gráfico B mostra, em porcentagem, a meta de participação nos negócios a ser alcançada até o fim do mês por tipo de apólice. Sabe-se que a meta a ser atingida é a de negociação de 1.500 apólices no mês.

Gráfico A:

Gráfico B:

O número de negociações, ainda necessárias, da apólice V , para alcançar exatamente a meta prevista para ela, é:

(A) 75.

(B) 163.

(C) 124.

(D) 62.

(E) 225.

O tipo de apólice que deve ser menos negociada, no tempo que ainda falta, para que a meta seja exatamente atingida, é a apólice

(A) IV .

(B) II .

(C) III .

(D) I .

(E) V .

Considere que os preços de negociação das apólices sejam 1 unidade monetária para a apólice I , 2 unidades monetárias para a apólice II , 3 unidades monetárias para a apólice III , 4 unidades monetárias para a apólice IV e 5 unidades monetárias para a apólice V .

Se a meta mensal de 1.500 negociações, com participação conforme descrito no gráfico B, for atingida, a participação da apólice IV na arrecadação total das negociações realizadas nesse mês, em porcentagem aproximada, é igual a

(A) 48.

(B) 40.

(C) 35.

(D) 45.

(E) 42.

Taxa, capital e prazo médios

Hoje temos o sexto vídeo da série de matemática financeira.



Seguem enunciados trabalhados no vídeo de hoje:

Questão 28 - AFRF 2003 [ESAF]

Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.

a) 2,9%

b) 3%

c) 3,138%

d) 3,25%

e) 3,5%

Questão 29 - AFRF 2002-1 [ESAF]

Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais.

a) quatro meses

b) quatro meses e cinco dias

c) três meses e vinte e dois dias

d) dois meses e vinte dias

e) oito meses

Questão 30 - SEFAZ-RJ 2008 [FGV]

Os valores de R$ 50.000 e R$ 100.000 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente.

O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é:

a) 12

b) 8

c) 10

d) 9,2

e) 7,5

Observação: todos os links para os vídeos da série de matemática financeira, e todos os arquivos com enunciados e gabaritos podem ser encontrados no seguinte endereço: http://exatasparaconcursos.wordpress.com/cursos-em-andamento/

Dados em classe

Hoje trago a questão abaixo, pedida pelo Leandro, aluno do meu curso de estatística.

GDF SEJUS 2010 [UNIVERSA]

A tabela a seguir evidencia uma entrevista feita com 50 clientes, dividida por faixa etária

Com base nos dados dessa entrevista, é correto afirmar que

(A) há, na primeira faixa etária, ao menos 1 entrevistado com 25 anos.

(B) 12% dos entrevistados têm mais de 40 anos de idade.

(C) pelo menos 1 entrevistado, na terceira faixa etária, tem 32 anos.

(D) 48% dos entrevistados têm entre 18 e 32 anos.

(E) 88% dos entrevistados têm menos de 40 anos de idade.

Resolução:

Alternativa A – INCORRETA. O símbolo indica que o intervalo é:

• fechado à esquerda (ou seja, o limite inferior, de 18, faz parte do intervalo)
• aberto à direita (o limite superior, de 25, não faz parte do intervalo)
Logo, a idade 25 não faz parte da primeira faixa etária.

Alternativa B – INCORRETA. Só os 6 clientes da última classe têm 40 anos ou. Esses 6 clientes realmente representam 12% dos entrevistados. Veja que 12% de 50 clientes é realmente igual a 6:

O detalhe é que não temos como garantir que todos esses 6 clientes têm mais de 40 anos. Eles podem ter exatamente 40 anos.

Alternativa C – INCORRETA. Na terceira faixa temos entrevistados com idade de 32 (inclusive) a 40 (exclusive). Mas isso não nos garante que algum deles tenha exatamente 32 anos. Poderia ocorrer, por exemplo, de as idades serem: 33; 33,5; 34; 34,5; 35; 35,5; 36; 38. Encontramos um contra-exemplo em que nenhum dos clientes dessa classe têm 32 anos.

Alternativa D – INCORRETA. No intervalo de 18 a 32, temos as pessoas das duas primeiras classes. São 12 + 24 = 36 pessoas nesta situação.

Tais pessoas correspondem a 72% do total (e não 48%)

Alternativa E – CORRETA. Na letra B vimos que 12% têm de 40 anos para cima. Portanto,

88% têm menos de 40 anos. Alternativa correta.

Gabarito: E

Taxas equivalentes no regime simples

Continuação da série de vídeos de matemática financeira. Este é o quinto da série:



 

Enunciados trabalhados no vídeo:

Questão 24 - SEFAZ SP 2009 [ESAF]

Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital?

a) 4%

b) 10%

c) 60%

d) 54%

e) 48%

Questão 25 - BANCOP 2007 [CESPE]

Suponha que um capital C aplicado por 12 meses à taxa de juros simples de i% ao mês se transforme em um montante de R$ 37.000,00. Esse mesmo capital aplicado à mesma taxa, no mesmo regime de juros, mas por 6 meses se transforma em um montante de R$ 31.000,00. Nessa situação, a taxa anual equivalente à taxa de i% é

A inferior a 37%.

B superior ou igual a 37% e inferior a 40%.

C superior ou igual a 40% e inferior a 43%.

D superior ou igual a 43% e inferior a 46%.

E superior ou igual a 46%.

Questão 26 - GDF SEPLAG 2009 [UNIVERSA]

Uma empresa aplicou, em uma instituição financeira, R$ 50.000,00, resgatando R$ 54.000,00 quatro meses depois. Assinale a alternativa que determina a taxa de juros simples equivalente, auferida nesta aplicação.

(A) 6% ao trimestre.

(B) 4% ao quadrimestre.

(C) 22 % ao ano.

(D) 10% ao semestre.

(E) 1,5% ao mês.

Questão 27 - SEFAZ-RJ 2008 [FGV]

A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de:

a) 15,00%

b) 1,50%

c) 18,00%

d) 9,00%

e) 12,00%

 

Distribuição exponencial

Hoje respondo a uma dúvida do Rodolfo, aluno do meu curso de Estatística para o STN. Ele pediu para eu detalhar melhor uma resolução apresentada para a questão abaixo:

PARANA PREVIDÊNCIA [CESPE]

Em estudos previdenciários, é importante avaliar o tempo de sobrevida dos beneficiários, o qual, em geral, depende do perfil do beneficiário. Esse perfil é composto por um conjunto de características como idade, espécie de benefício (aposentadoria por idade, invalidez etc.), tipo de clientela (urbana/rural), entre outras. Suponha que o tempo de sobrevida de beneficiários com um certo perfil seja uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro 0,1, cuja função densidade é dada por

para t > 0 e f(t) = 0, para t < 0. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, utilizando, quando necessário, os valores da tabela acima.

1. O tempo médio de sobrevida dos beneficiários é inferior a 5 anos.

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Resolução:

Rodolfo, uma coisa que não falei em aula é o seguinte. Usei essa questão apenas para treinarmos os conceitos trabalhados em aula (que foi sobre introdução às variáveis aleatórias). Por isso na resolução dada em aula eu apresentei a origem dos resultados (esperança e variância) da variável aleatória, isso usando as fórmulas de definição.

Contudo, existem distribuições “famosas”, em que a média e a variância já são bastante conhecidas, sem necessidade de se fazer todo o cálculo. Certamente a pretensão desta questão era que o candidato já soubesse tais resultados de cabeça. Isso porque a variável definida é a famosa “distribuição exponencial”, que tem justamente a função densidade dada por:

Ela tem momentos bem conhecidos, dados por:

No caso da questão,

Então temos, de imediato, esperança igual a 10 e variância igual a 100. Isso sem precisar fazer qualquer integral.

Contudo, em aula eu nem mencionei os resultados acima, afinal, nesta aula não trabalhamos as distribuições de probabilidade mais conhecidas. A distribuição exponencial chegou a ser trabalhada em aula posterior (aula sobre distribuições). Mas, com a retificação do edital, modifiquei a aula de distribuições, e exclui o tópico.

Em todo caso, mesmo com a distribuição exponencial tendo sido eliminada do edital, a questão ainda é perfeitamente útil, afinal, o cálculo da esperança e da variância, para qualquer que seja a variável, pode ser feito a partir das fórmulas de definição. E foi exatamente isso que trabalhamos na aula de introdução às variáveis aleatórias.

Bom, chega de papo e vamos lá. Vamos fazer a partir das fórmulas de definição.

Queremos calcular o tempo médio (ou a esperança da variável T).

Da definição de esperança, temos:

Da definição de esperança, temos:

Como a função vale zero para t < 0, temos:

A dúvida do Rodolfo foi: como fazer essa integral?

Primeiro vamos modificar um pouco:

Bom, fazendo mais passo a passo, é o seguinte. A derivada do produto de duas funções é:

Logo:

Portanto:

Na integral que queremos calcular, fazendo

Ficamos com:

Que é a esperança da variável aleatória.

Rodolfo, é isso, qualquer coisa, só falar.

Juros exatos, juros bancários e juros comerciais

Continuação da abordagem do tópico "juros simples":



 

Questões abordadas no vídeo:

Questão 19 - SEFAZ CE 2006 [ESAF]

Uma pessoa aplicou um capital a juro simples exato a uma taxa de 20% ao ano e ele cresceu 8% ao fim do prazo. Qual foi o prazo de aplicação do capital?

a) 144 dias

b) 146 dias

c) 150 dias

d) 153 dias

e) 155 dias

Questão 20 - SEFAZ/CE 2006 [ESAF]

Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1.608,00 em 100 dias?

a) R$ 20.000,00.

b) R$ 20.100,00.

c) R$ 20.420,00.

d) R$ 22.000,00.

e) R$ 21.400,00.

Questão 21 - SEFAZ-RJ 2008 [FGV]

Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinário de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00.

Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos, é:

a) R$ 6.500,00

b) R$ 7.850,00

c) R$ 8.017,00

d) R$ 8.820,00

e) R$ 8.000,00

Questão 22 - SEFAZ PB 2006 [FCC]

Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial.

Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é:

a) R$ 7,50

b) R$ 15,00

c) R$ 22,50

d) R$ 30,00

e) R$ 37,50

Questão 23 - ANTAQ 2009 [CESPE]

Sabendo-se que o ano de 2008 foi bissexto, conclui-se que uma quantia aplicada do dia 15 de janeiro até 10 de abril daquele ano à taxa de juros diários deve render o mesmo valor total de juros, não importando se o cálculo for feito por meio do método de juros comerciais ou de juros exatos.