Enem 2014 - questão 136

A Figura 1 representa uma gravura retangular com 8 m de comprimento e 6 m de altura.

Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando livres 3 cm em cada margem, conforme a Figura 2.

A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1.

A escala da gravura reproduzida na folha de papel é

A 1 : 3.

B 1 : 4.

C 1 : 20.

D 1 : 25.

E 1 : 32.

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Na folha de papel, devido às margens livres, a largura disponível para reprodução da gravura é de:

$42 - 3 - 3 = 36$

Também devido às margens livres, a altura disponível para reprodução da gravura é de:

$30 - 3 - 3 = 24$

Agora vamos analisar apenas as larguras. Na figura original, a largura é de 8 metros. Na folha de papel, a largura disponível é de 36 cm. Fazendo a relação entre ambas, temos a escala:

${8 \over 0,36} \approx 22$

A escala seria de 1 : 22.

Agora analisamos as alturas. Na figura original, a altura é de 6 metros. Na folha de papel, a altura disponível é de 24 cm. Fazendo novamente a relação entre ambas:

$ {6 \over 0,24} = 25$

A escala seria de 1: 25

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E agora? Qual das duas escalas é a correta?

O grande problema é que as dimensões disponíveis na folha de papel não estão na mesma proporção da gravura (8 para 6).

Nas larguras, a escala de 1 : 22 nos mostra que precisaríamos encolher a figura 22 vezes para caber na folha de papel.

Nas alturas, a escala de 1 : 25 nos mostra que precisaríamos encolher a figura 25 vezes para caber na folha de papel.

Notamos então que nosso "gargalo" é a altura, pois ela requer um encolhimento maior da figura original.

Vejam que:

• se reduzíssemos a figura original em apenas 22 vezes, a largura caberia na folha de papel, mas a altura não caberia
• se reduzíssemos a figura original em 25 vezes, a altura vai caber na folha de papel. A largura também certamente caberá, com folga, diga-se de passagem, já que requeria apenas 22 vezes de redução

Sendo a altura nosso gargalo, ficamos com a escala de 1 : 25.

Resposta: D

Contador TJ SP - Vunesp - Questão 92

Na vila de Trulie, alguns habitantes sempre mentem e os demais sempre falam a verdade. Alberto é um turista nessa vila e não conhece a natureza dos habitantes, ou seja, ele não sabe, a princípio, se um dado habitante sempre fala a verdade ou se sempre mente.

92. Passeando na vila, Alberto encontrou três habitantes e sabia que apenas um deles era médico, mas não sabia qual. Esses três habitantes, identificados por A, B e C, fizeram as seguintes afirmações:
A: “Olá, eu sou o médico da vila.”
B: “Olá, eu não sou o médico da vila.”
C: “Olá, no máximo um de nós sempre fala a verdade.”
A partir dessas afirmações, Alberto concluiu corretamente que o médico pode ser
(A) apenas A.
(B) apenas B.
(C) A ou C, mas não B.
(D) B ou C, mas não A.
(E) A ou B, mas não C.

Resolução:

Hipótese: A é médico. Logo:

• A diz a verdade
• B diz a verdade
• Até aqui temos 2 verdadeiros. Disto resulta que a frase "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é falsa. Logo, C é mentiroso 

Não chegamos a qualquer contradição. Esta hipótese ainda é possível.


Hipótese: B é médico.

Logo:

• A mente
• B mente
• Até aqui temos 2 mentirosos. Disto resulta que a frase "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é verdadeira. Logo, C é verdadeiro

Não chegamos a contradições. A hipótese acima é possível.

Hipótese: C é médico. Logo:

• A mente
• B diz a verdade
• Até aqui temos 1 verdadeiro e 1 mentiroso. Assim:

• caso C seja verdadeiro, teremos 2 verdadeiros. Disto resulta que a afirmação "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é falsa. O que por sua vez torna C um mentiroso. Assim chegamos a uma contradição. Então descartamos esta hipótese.
• caso C seja falso, teremos um único verdadeiro. Disto resulta que a afirmação "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é verdadeira. O que por sua vez torna C um verdadeiro. Chegamos novamente a uma contradição. Então descartamos esta hipótese. 

Então eliminamos esta hipótese, pois ela sempre nos leva a contradições.

Resultado: apenas A e B podem ser o médico. C não pode ser médico, pois tal hipótese nos leva a contradições.

Resposta: E

Contador TJ SP - questão 91

Hoje resolvo uma questão da Vunesp, questão do concurso do TJ SP, realizado agora em 2015.

 Três meninas têm um irmão cada uma. No total, esses seis jovens já ganharam 43 medalhas em competições de natação, sendo que Renato ganhou 2 medalhas, Márcio 3 e Rogério 5. Renata ganhou 7 medalhas a mais que seu irmão, Márcia ganhou 4 vezes mais medalhas que seu irmão e Rogéria ganhou 3 vezes mais medalhas que seu irmão. A diferença entre as medalhas recebidas por Renata e
Márcia é igual a
(A)  5.
(B)  1.
(C)  3.
(D)  2.
(E)  4.

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Montando uma tabela para fazermos as associações:

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	10
Márcia	8	12	20
Rogéria	6	9	15

Na tabela acima, elencamos todas as possibilidades. Exemplos:

• Se Renata for irmã de Renato, então ela tem 9 medalhas (7 a mais que seu irmão)
• Se Renata for irmã de Márcio, então ela tem 10 medalhas (7 a mais que seu irmão)
• ...
• Se Rogéria for irmã de Rogério, então ela tem 15 medalhas (3 vezes mais que seu irmão)

O total de medalhas é 43. Somando só os homens, já temos $2+3+5=10$. Para completar 43 faltam 33

Deste modo, somando as medalhas das mulheres devemos ter 33.

Vamos começar analisando a maior quantidade possível, que seriam 20 medalhas para Márcia, caso ela seja irmã de Rogério.

Hipótese: Márcia tem 20 medalhas.

Se Márcia tiver 20 medalhas, então as outras duas (Renata e Rogéria) devem ter, juntas, $ 33 - 20 = 13$ medalhas. Mas não é possível termos uma combinação de Renata e Rogéria que resulte em 13 medalhas. 

Conclusão: Márcia não tem 20 medalhas

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	10
Márcia	8	12	FALSO
Rogéria	6	9	15

Já vimos que Márcia não é irmã de Rogério. Então a irmã de Rogério só pode ser Renata ou Rogéria.

Hipótese: Renata é irmã de Rogério

Nesse caso, Renata tem 10 medalhas. As outras duas devem ter, juntas, $ 33 - 10 = 23$. A única combinação que dá 23 é se Márcia tiver 8 e Rogéria tiver 15. Mas isso seria absurdo, pois exigira que Rogéria também fosse irmã de Rogério, quando nossa hipótese é a de que a irmã de Rogério é Renata.

Conclusão: Renata não é irmã de Rogério.

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	FALSO
Márcia	8	12	FALSO
Rogéria	6	9	15

Por eliminação, Rogéria é irmã de Rogério. Logo, ela tem 15 medalhas. As outras duas devem ter, juntas, $33 - 15 = 18$. Isso ocorrerá se Renata tiver 10 e Márcia tiver 8, assim:

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	FALSO	10	FALSO
Márcia	8	FALSO	FALSO
Rogéria	FALSO	FALSO	15

Renata recebeu 10 medalhas e Márcia recebeu 8. A diferença é de 2 medalhas. Resposta: D

Petrobras 2014 - questão 29

Hoje matamos a última das questões solicitadas pelo Cesar, vamos lá. 

Para ingressar em um curso de pós-graduação, os candidatos são avaliados por uma prova tradicional, com conteúdo técnico e específico, e os 25% melhores são classificados. Esse processo está sendo reavaliado e pensa-se em substituí-lo por uma prova de raciocínio lógico. Para testar esse processo, sessenta candidatos foram submetidos à prova de raciocínio lógico e à avaliação tradicional. A probabilidade de um aluno ter sido aprovado na prova de  raciocínio  lógico,  dado  que  ele  foi  classificado  como um dos 25% melhores, foi 80%, e a probabilidade de um aluno ter sido aprovado na prova de raciocínio lógico e não ter sido classificado foi de 50%. A probabilidade de um candidato não ter ficado entre os  25% melhores, dado que foi aprovado na prova de raciocínio lógico é de

a) 2/7

b) 3/10

c) 1/2

d) 7/10

e) 5/7

Resolução:

Dos 60 candidatos, só 25% são classificados no exame tradicional. 

$60 \times 0,25 = 15$

15 candidatos são classificados e o restante é desclassificado.

A chance de um aluno ter sido aprovado em lógica e ter sido desclassificado no exame tradicional é de 50%. Assim, metade dos 60 candidatos se encontra nesta situação:

A chance de um candidato ter sido aprovado em lógica, dado que foi classificado no exame tradicional, é de 80%. Em outras palavras, dos 15 que foram classificados no exame tradicional, 80% também foram aprovados em lógica.

$0,8 \times 15 = 12$

As demais células podem ser preenchidas por somas ou diferenças:

Foi pedida a chance de um candidato ter sido desclassificado no exame tradicional, dado que ele é um dos 42 que foram a provados em lógica. 

Temos então 30 casos favoráveis em 42 possíveis. A probabilidade fica:

$P = {30 \over 42} = {5 \over 7}$

Resposta: E

Petrobras 2014 - questão 36

Um empreiteiro tem duas opções para receber o pagamento por uma obra: a primeira é receber de uma só vez, um mês após o término do serviço; a segunda, é receber em três prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira ao término da obra. Se o empreiteiro conseguir fazer render o seu dinheiro à taxa j ao mês, e considerando-se o regime de juros compostos,
a segunda opção é considerada melhor
(A) dependendo somente da taxa j.
(B) dependendo somente do valor do serviço.
(C) dependendo de ambos: do valor do serviço e da taxa j.
(D) em qualquer situação.
(E) em nenhuma situação.

Resolução

Questão mal elaborada, em que para resolver precisamos de uma certa dose de boa vontade com o examinador.

A questão não disse (mas deveria ter dito) que o valor total pago é o mesmo nas duas situações. Exemplo: ou o empreiteiro recebe uma vez de 12.000,00, um mês após o final da obra, ou recebe três prestações de 4.000,00 cada, sendo a primeira no final da obra.

Deste modo, temos o seguinte.

	Opção 1	Opção 2
Data 0 (fim da obra)		4.000
data 1 (um mês depois)	12.000	4.000
Data 2 (dois meses depois)		4.000

Vamos usar a data 1 como data focal. O valor do fluxo de caixa 2 na data focal tem que ser maior que o fluxo de caixa 1 na mesma data, para que a segunda opção seja melhor:

$ {4.000 \times (1+j)} + 4.000+ {4.000 \over 1+j}  > 12.000 $

Dividindo todos os termos por 4.000:

$ {1 \times (1+j)} + 1+ {1 \over 1+j}  > 3 $

$  {1 \over 1+j}  > 2 - (1+j) $

$  {1 \over 1+j}  >1-j $

Supondo taxas positivas, podemos multiplicar todos os termos por $1+j$:

$1 > (1-j) \times (1+j) $

$ 1 > 1 - j^2 $

Como $j^2$ é positivo, então o lado direito da igualdade será menor que 1, sempre. Portanto, essa desigualdade vale para qualquer taxa "j" positiva.

Portanto, a segunda opção é sempre melhor, em qualquer situação.

Gabarito: D

Petrobras 2014 - questão 35

Mais uma questão da prova da Petrobras 2014.

Seja Y uma variável qualitativa binária.
Selecionou-se  uma  amostra  aleatória  simples,  de  tamanho  16,

$Y_1 , \, Y_2, \, \cdots , \, Y_{16}$

para  se  estudar  uma  característica  tal que:
1; se ocorreu sucesso e
0; caso contrário.

Sabe-se que ocorreram 10 sucessos. A variância dessa amostra é
(A) 0,22
(B) 0,25
(C) 0,32
(D) 0,35
(E) 0,42

Resolução

A distribuição de frequências fica:

Valor (Y)	Frequência (f)	$Yf$	$Y^2 f$
1	10	10	10
0	6	0	0
Total	16	10	10

Agora podemos calcular as médias:

$\overline Y = {\sum Yf \over \sum f} = {10 \over 16} ={5 \over 8}$

$\overline {Y^2} = {\sum Y^2f \over \sum f} = {10 \over 16} = {5 \over 8}$

A variância populacional é dada por:

$ \sigma^2 = \overline{Y^2} - (\overline Y)^2 $

$ = {5 \over 8} - {25 \over 64} = {40-25 \over 64} = {15 \over 64}$


Finalmente fazemos o ajuste para a variância amostral:

$s^2 = {n \over n-1} \times \sigma^2 $

$ s^2 = {16 \over 15} \times {15 \over 64} = 0,25$

Resposta: B

Petrobras 2014 - questão 34

Retomando as questões da Petrobrás, solicitadas pelo Cesar Goes

Uma operadora de cartão de crédito entra em contato com o cliente toda vez que o valor de uma compra for superior ao terceiro quartil mais uma vez e meia a diferença entre o terceiro e o primeiro quartis dos gastos do cliente nos últimos doze meses. A seguir, mostram-se os gastos de um cliente nos últimos doze meses.

 Mês // Gasto
01 // 1.200,00
02 // 1.400,00
03 // 1.700,00
04 // 2.000,00
05 // 2.100,00
06 // 2.300,00
07 // 3.000,00
08 // 3.200,00
09 // 4.000,00
10 // 4.300,00
11 // 4.300,00
12 // 4.800,00

O menor valor de compra a partir do qual o cliente será contatado pela operadora do cartão nas compras do próximo mês é, em reais,
(A) 4.800,00
(B) 5.800,00
(C) 7.300,00
(D) 7.450,00
(E) 8.300,00

Resolução

Antes de mais nada vamos calcular os quartis. Quando temos dados em ROL, a determinação dos quartis é feita conforme os seguintes passos:

1) Determinamos a mediana (Q2)

Como temos uma quantidade par de observações (12), a mediana é a média entre os termos centrais:

$Q_2 = {2.300 + 3.000 \over 2} = 2.650$

2) Determinamos o primeiro quartil (Q1)

A mediana separa o conjunto de dados em duas partes. O primeiro quartil é a mediana da primeira parte:

1.200, 1.400, 1.700, 2.000, 2.100, 2.300

A mediana dessa primeira parte é a média dos termos centrais:

$Q_1 = {1.700 + 2.000 \over 2} = 1.850$

3) Determinamos o terceiro quartil (Q3)

O terceiro quartil é a mediana da segunda parte:

3.000, 3.200, 4.000, 4.300, 4.300, 4.800

$Q_3 = {4.000+4.300 \over 2} = 4.150$

Limite para a operadora entrar em contato

A operadora entra em contato se a compra for superior ao terceiro quartil somado a 1,5 vezes a diferença entre terceiro e primeiro quartil:

$Q_3 + 1,5 \times (Q_3 - Q_1) $

$4.150 + 1,5 \times (4.150 - 1.850)$

$= 7.600$

Na minha opinião não há resposta. O gabarito da banca foi letra C.