SUSEP 2010

Hoje respondo a uma dúvida de um aluno do meu curso de RLQ para a Receita. Durante a aula eu resolvi a questão abaixo, do concurso da SUSEP 2010. Fui de alternativa em alternativa, até achar o gabarito. O aluno então pediu para eu analisar as alternativas “D” e “E”, não analisadas em aula.

Segue enunciado:

(SUSEP 2010 – ESAF) Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam , e , respectivamente, as operações de intersecção, união e diferença entre eles.

Seja o conjunto vazio, U o conjunto universo e seja .

A opção correta é:











 

Comentários:

Como exemplo, considere o conjunto dos números naturais de 1 a 10. Este é o universo no qual estamos trabalhando.

Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo.

A intersecção entre A e B corresponde ao conjunto formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos. É representada assim:

A união entre A e B éformada pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos.

A diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem a B.

Analogamente, temos:

O complementar de A é formado pelos elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto A.

De igual modo, o complementar de B é formado por todos os elementos do conjunto universo que não pertencem a B.

Observem que, em todas as alternativas, aparece o seguinte conjunto:

No nosso exemplo, este conjunto seria:

Ou seja, o único termo que não pertence a este conjunto é o 3, que está justamente na intersecção entre A e B.

Assim, este conjunto acima é quase igual ao conjunto universo. Só faltou incluirmos o 3 (intersecção entre A e B).

Em algumas alternativas, aparece o complementar deste conjunto.

Para achar o complementar de um conjunto, pegamos todos os elementos que não pertencem a ele. No nosso exemplo:

Pois 3 é o único elemento que ficou de fora.

Agora vamos analisar cada alternativa.

Letra A:

A alternativa está errada, pois afirmou que o resultado seria o conjunto universo.

Letra B:

A letra b traz exatamente a mesma sequência de operações da alternativa ‘a’. Já vimos que o resultado é o conjunto {3}.

A alternativa está errada, pois afirma que o resultado é vazio.

Letra C:

Exatamente como afirmado pela alternativa, o resultado é o conjunto vazio. Os dois conjuntos obtidos não têm elementos em comum. Por isso sua intersecção é o conjunto vazio.

Gabarito: C

Letra D:

A alternativa está incorreta, pois afirma que o resultado é igual a . Mas a união entre A e B é dada por:

Letra E:





A alternativa erra ao dizer que o resultado é o conjunto universo.

RLQ CGU 2006–Esaf

Hoje respondo a uma dúvida da Daniela, aluna do meu curso de Raciocínio Lógico.

Em aula, resolvemos a seguinte questão da Esaf:

(Esaf - CGU 2006)
Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não
é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra. Assim,
a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.
b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.
c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina.
d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina.
e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina.

A resolução apresentada foi a seguinte:

Vamos focar nas premissas 2 e 3:

2) Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva
3) Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina

As duas premissas devem ser verdadeiras (ao mesmo tempo!!!). Uma delas afirma que Beatriz é bailarina. A outra afirma que Beatriz não é bailarina. Quanto à Beatriz, portanto, uma das duas premissas está errada.

Não nos interessa qual das duas premissas erra sobre Beatriz. O que interessa é isso: uma das premissas apresenta uma parcela falsa (a parcela que fala sobre Beatriz). Assim, a outra parcela deve ser verdadeira, para que a disjunção seja verdadeira.

E qual é a outra parcela?

A outra parcela é: “Renata não é ruiva”.

Assim, a única forma de as duas premissas serem simultaneamente verdadeiras é se Renata não for ruiva.

Renata não é ruiva.

Pronto. Isso já pode ser concluído. Já sabemos que Renata não é ruiva. Essa é a única forma de fazer com que as premissas 2 e 3 sejam verdadeiras ao mesmo tempo.

Olha só como foi mais rápido: não precisou de tabela, não precisou de chute inicial, de nada.

Por outro lado, não tem receita de bolo. Foi necessário um pouco de “jogo de cintura” para perceber que era possível combinar as premissas 2 e3. Bom, já sabendo que Renata não é ruiva, podemos analisar as demais premissas.

Vamos para a primeira premissa:

1) Márcia não é magra ou Renata é ruiva

A segunda parcela do “ou” é falsa. Logo, a primeira parcela deve ser verdadeira.

Márcia não é magra.

Vamos para a última premissa:

4) Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra

A segunda parcela do condicional é falsa. Para que o condicional seja verdadeiro, a primeira
parcela deve ser falsa.

Beatriz é bailarina.

Pronto. Descobrimos que Renata não é ruiva, Márcia não é magra e Beatriz é bailarina. Isso sem precisar de chute para ser testado. Sem precisar de tabela. É bem mais rápido. Mas, por outro lado, não tem “receita de bolo”, esse é o problema.

Gabarito: A

Muito bem. Aí a Daniela pediu para eu apresentar outra solução, utilizando uma tabela.

Ok, vamos então reiniciar a solução, fazendo tudo novamente, só que agora usando uma tabela.

Sabemos que as seguintes informações são verdadeiras:

1) Márcia não é magra ou Renata é ruiva

2) Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva

3) Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina

4) Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra

Montamos uma tabela com todas as possibilidades e vamos riscando as situações que contradizem o enunciado.

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	Ruiva	Bailarina
Magra	Ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	Bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	Ruiva	Bailarina
Não magra	Ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	Bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

1 - Márcia não é magra ou Renata é ruiva.

Posso excluir os casos em que Márcia é magra e Renata não é ruiva (pois esta combinação tornaria falsa a proposição acima).

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	Ruiva	Bailarina
Magra	Ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	Bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	Ruiva	Bailarina
Não magra	Ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	Bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

2 - Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva.

Excluo casos em que Beatriz não é bailarina e Renata é ruiva (novamente, é a hipótese que tornaria falsa a proposição acima).

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	Ruiva	Bailarina
Magra	Ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	Bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	Ruiva	Bailarina
Não magra	Ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	Bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

3 - Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina.

Temos um conectivo “ou”. Ele só é falso quando as duas parcelas são falsas. No caso, a proposição é falsa quando Renata é ruiva e Beatriz é bailarina.

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	Ruiva	Bailarina
Magra	Ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	Bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	Ruiva	Bailarina
Não magra	Ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	Bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

Repare que, olhando na tabela as informações que ainda não foram riscadas, já sabemos sobre Márcia (não é magra) e Renata (não é ruiva), só nos falta saber de Beatriz.

4 - Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra.

Agora temos um condicional. Qual a única situação em que um condicional é falso? Quando o primeiro termo é verdadeiro e o segundo é falso (V/F).

Podemos separar a frase em duas “parcelas”. A primeira se refere a Beatriz; a segunda é sobre Márcia. Quando Beatriz não é bailarina, a primeira parte é verdadeira. Quando Márcia é magra, a segunda parte é falsa. Primeiro termo verdadeiro e segundo termo falso faz com que a frase acima seja falsa.

Devemos, portanto, descartar esta opção.

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	Ruiva	Bailarina
Magra	Ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	Bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	Ruiva	Bailarina
Não magra	Ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	Bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

Portanto, Márcia não é magra, Renata não é ruiva e Beatriz é bailarina.

Gabarito: A

Transpetro 2012

Hoje respondo a uma dúvida da Pâmela, aluna do meu curso regular de Estatística. Ela pediu para eu resolver a questão abaixo, da Transpetro:

(Transpetro 2012 - Cesgranrio) Uma empresa tem 38 funcionários, sendo a média de idade 32 anos e o desvio padrão de 4 anos. Foram contratados mais dois funcionários, ambos com 32 anos. Em relação à variância original, a variância da nova distribuição de salários ficará

Dado: A variável idade é expressa em termos de anos completos.
(A) 5% menor
(B) 23,75% menor
(C) 76,25% menor
(D) 95% menor
(E) não se alterará

Resolução:

Em primeiro lugar, ressalto que não conferi o enunciado original na prova da banca, nem o gabarito definitivo, ok? Pâmela, estou confiando nas suas informações, tá bem?

Ok, vamos lá.

A média inicial era de 32.

Em seguida, acrescentamos mais dois funcionários com idade 32. Logo, a média não se altera. A média permanece em 32 anos.

O desvio padrão inicial era 4. Para calcular a variância, basta elevar o desvio padrão ao quadrado:

Como calculamos a variância?

Lembrando, a variância é a média dos quadrados dos desvios. Desvios esses calculados em relação à média aritmética. Logo, na situação inicial, temos:

Logo:

Em seguida, passamos a ter 40 funcionários, pois adicionamos mais dois valores iguais a 32. A nova variância fica:

No numerador temos um somatório. Podemos separá-lo em duas partes: a soma dos 38 desvios originais, mais a soma dos últimos dois desvios, correspondentes aos dois novos funcionários:

Os últimos dois desvios são nulos, porque os valores são exatamente iguais à média.

A nova variância é 95% da variância anterior. Logo, houve uma redução de 5% na variância. Deste modo, eu marcaria a letra “a”. Segundo a Pâmela, a questão foi anulada. Realmente não sei o motivo da anulação.

Box Plot–Inmetro 2010

Hoje respondo a uma dúvida do Sylvio Henrique, aluno do meu curso regular de estatística. Ele pediu ajuda na questão a seguir, do concurso do Inmetro 2010.

(CESPE – INMETRO/2010) Nos últimos cinco meses, uma família apresentou o seguinte quadro de despesas:

1.º mês: R$ 1.000,00;

2.º mês: R$ 1.200,00;

3.º mês: R$ 900,00;

4.º mês: R$ 1.100,00;

5.º mês: R$ 800,00.

Em relação a esse conjunto de dados, assinale a opção correta.

A O desvio padrão amostral é superior a R$ 200,00.

B O primeiro quartil é igual a R$ 1.100,00.

C O terceiro quartil é igual a R$ 1.200,00.

D Ao se construir um Box plot para esse conjunto de dados, os limites inferior e superior estarão contidos no intervalo [R$ 400,00, R$ 1.600,00].

E A média é maior que a mediana dos dados.

Resolução.

Vamos direto para a alternativa que trata de Box-plot.

Rol:

800, 900, 1.000, 1.100, 1.200

A mediana é o termo do meio:



A mediana divide o conjunto de dados em duas partes com 2 elementos cada.

Primeira parte	Segunda parte
800, 900	1.100, 1.200

O primeiro quartil é a mediana da primeira parte:

O segundo quartil é a mediana da segunda parte:



O intervalo interquartílico é igual a:



Os limites do Box plot são:

- Limite inferior:

- Limite superior:

Os limites do Box-plot são 400 e 1.600. A alternativa D está correta.

Gabarito: D

Agora vejamos as demais alternativas.

A letra “a” é a de verificação mais demorada, pois depende de uma maior quantidade de cálculos. Na hora da prova, o ideal é marcá-la “por exclusão”.

Letra B:

Já vimos que o primeiro quartil é 850. Alternativa errada.

Letra C:

Já vimos que o terceiro quartil é 1.150. Alternativa errada.

Letra E:



A média é igual à mediana. Alternativa errada.

Finalmente, para analisar a letra “a”, vamos criar a variável auxiliar:



Os valores de “d” são:

-2, -1, 0, 1, 2

Logo:





A variância é a diferença entre a média dos quadrados e o quadrado da média:



 

Tendo o desvio padrão de "d", podemos calcular o desvio padrão de "x", assim:



Quando somamos uma constante aos dados, o desvio padrão não se altera.

Quando multiplicamos os dados por uma constante, o desvio padrão é multiplicado pela mesma constante. Logo, o desvio padrão de "x" será 100 vezes o desvio padrão de "d".



Esse é o desvio padrão populacional de "x".

Para cálculo do desvio padrão amostral, fazemos o ajuste. Multiplicamos por "n" (número de dados = 5) e dividimos por "n-1".

E o desvio padrão amostral fica:



O desvio padrão amostral não é superior a 200.