Forma alternativa de cálculo da variância

Recebi um e-mail do Antônio Carlos, aluno do Eu Vou Passar, pedindo ajuda com o cálculo alternativo de variância, quando optamos por usar a variável auxiliar.

Bom, relembrando, a variância é uma medida de dispersão. Ela me indica o quanto os dados estão afastados da média aritmética. Para calcular a variância, fazemos assim:

Ou seja, calculamos a média dos quadrados dos desvios. Desvios estes calculados em relação à média aritmética.

Caso estejamos diante de uma amostra, usamos “n – 1” no denominador. Neste caso, usamos o símbolo s² para a variância.

Não entrarei em detalhes no porquê disso, mas fica registrado que o objetivo é obter um estimador não-viciado da média da população.

Ok, continuando.

O grande detalhe é que esta forma de cálculo é muito demorada, é trabalhosa. E, na hora da prova, é sempre bom poupar tempo.

Pois bem, outra maneira de calcular a variância, que demanda muito menos tempo, é a seguinte:

Ou seja:

- calculamos a média dos quadrados

- calculamos o quadrado da média

- subtraímos um do outro, obtendo a variância populacional

Detalhe: essa forma alternativa pressupõe que utilizamos “n” no denominador. Se estivermos diante de uma amostra, temos que multiplicar por “n” (para anular a divisão feita pelo próprio “n”) e dividir por “n – 1”, para obter o denominador correto. Fica assim:

E, é claro, podemos usar o cálculo alternativo da variância em qualquer situação, inclusive quando decidimos adotar a variável “auxiliar”. E aqui reside a dúvida do Antônio Carlos.

Para ver como fica, nada melhor que um exemplo. Utilizarei a recente prova da Esaf, feita agora em 2012:

(ESAF - Ministério da Integração Nacional 2012)

A distribuição de frequências em classes do salário mensal x, medido em número de salários mínimos, de uma amostra aleatória de 50 funcionários de uma empresa, é apresentado a seguir.

Classe
Mais de 0 a 10	22
Mais de 10 a 20	13
Mais de 20 a 30	10
Mais de 30 a 40	3
Mais de 40 a 50	2

Usando os dados acima, obtenha o valor mais próximo da variância amostral do salário mensal.

a) 121,5

b) 124

c) 126,5

d) 129

e) 131,5

Resolução:

Seja “X” o ponto médio de cada classe.

Classe
Mais de 0 a 10	5	22
Mais de 10 a 20	15	13
Mais de 20 a 30	25	10
Mais de 30 a 40	35	3
Mais de 40 a 50	45	2

Observem que os valores de X são elevados. Para diminuir um pouco as contas, usamos a variável auxiliar, que eu costumo chamar de “d”.

Vamos criar a variável auxiliar “d”, dada por:

Fazemos assim: subtraímos da variável "X" a constante 25 (ponto médio da classe central) e dividimos por 10 (amplitude de classe). O resultado fica:

5	-2	22	-44
15	-1	13	-13
25	0	10	0
35	1	3	3
45	2	2	4
TOTAL		50	-50

Observação: não existe regra fixa para cálculo da variável “d”. O objetivo é usar qualquer transformação (envolvendo somas, subtrações, divisões e multiplicações de constantes) para chegarmos a números mais fáceis de se trabalhar.

Outra forma de cálculo muito comum em livros é subtrair X do ponto de maior frequência. Também dá certo. Aí vai do “gosto do freguês”.

Continuando.

Agora calculamos a média e a variância para “d”. Por quê? Porque para “d” os valores são menores, mais fáceis de se trabalhar.

A média de “d” fica:

Com o mesmo raciocínio, calculamos a média de

5	-2	4	22	88
15	-1	1	13	13
25	0	0	10	0
35	1	1	3	3
45	2	4	2	8
TOTAL			50	112

O que resulta em:

Agora é só aplicar a forma alternativa de cálculo da variância. A variância populacional é igual à diferença entre a média dos quadrados e o quadrado da média:

Na variância populacional, o denominador é “n”(= número de dados na amostra).

Mas nós queremos a variância amostral, com denominador “n – 1”. Então multiplicamos o resultado acima por “n”, para cancelar a divisão feita, e dividimos por “n – 1”, para chegarmos ao denominador desejado.

Essa é a variância amostral para “d”.

Agora calculamos a variância amostral para X. Assim:

Quando multiplicamos os dados por uma constante (10), a variância fica multiplicada pela constante ao quadrado (10²). Quando somamos uma constante aos dados (25), a variância não se altera.

Gabarito: C

Pronto. Usamos o cálculo alternativo da variância em conjunto com o emprego da variável auxiliar. Como fizemos?

Calculamos tudo para a variável auxiliar (média e variância). Depois usamos propriedades da variância para achar a dispersão da variável original (X).

É isso.

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Bons estudos!

Vítor

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Conjuntos–ISS Natal 2008

Hoje resolvemos uma interessante questão da Esaf, a pedido do Ivanor, aluno do Eu Vou Passar. Segue:

(ISS-NATAL - 2008 / ESAF) Os conjuntos X, Y e Z são respectivamente iguais a {a, b, c, d, e}, {d, e, f} e {a, b, g}. Sabendo-se que A = λ ∩ Y = ∅ e B = λ ∪ Y = X ∪ Z , então, o total de subconjuntos do conjunto λ é igual a:

a) 20

b) 15

c) 14

d) 18

e) 16

Comentários:

Não sei se a questão foi anulada, mas acredito que tenha sido.

Vamos começar analisando a segunda igualdade:

A união entre X e Z corresponde aos elementos que pertencem a X ou a Z:

A união entre Y e λ corresponde aos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. Veja que “Y” contém o elemento “f”. Logo, esse elemento aparecerá na união entre Y e λ. No entanto, “f” não aparece na união entre X e Z. Logo, é impossível que esta igualdade ocorra, devendo a questão ser anulada.

Para aproveitarmos a questão, suponha que, na verdade, Y = {d, e}

Assim, o conjunto λ deve, no mínimo, conter todos os demais elementos que faltam para obtermos o conjunto . Logo, λ contempla: a, b, c, g.

Além disso, a primeira igualdade (λ ∩ Y = ∅) nos diz que λ e Y não têm elementos em comum. Logo, o conjunto λ corresponde apenas aos elementos acima citados:

Genericamente, o número de subconjuntos de um conjunto com “n” elementos é igual a 2ⁿ.

λ tem 4 elementos. Assim, o número de subconjuntos fica:

O que coincide com o gabarito preliminar (letra E).

No entanto, tivemos que adaptar a questão para chegar ao resultado. Ao meu ver, deveria ter sido anulada. Não tenho o gabarito definitivo para saber se foi anulada ou não.

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Permutação circular–AFRFB 2009

Hoje resolvo uma questão que gerou muita dúvida em meu curso para o AFRFB.

Segue enunciado:

(ESAF - AFRFB 2009) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

a) 72

b) 36

c) 216

d) 720

e) 360

Resolução.

Primeiro apresento a solução dada em aula.

Quando a questão diz que a mesa é circular, significa que, de início, todos os lugares são equivalentes entre si. Não há uma referência, algo que diferencie um lugar do outro.

Vamos alocar o primeiro homem. Há 6 opções de lugar para ele, mas todos são equivalentes, pois todos os lugares são vistos como “iguais”, já que não há uma referência, algo que os diferencie.

Posicionado o primeiro homem, agora nós criamos uma referência. Este homem será a referência. Temos agora um lugar à sua esquerda, outro à sua direita, outro que lhe é oposto, e assim por diante.

Vamos preencher o lugar à esquerda deste homem. Neste lugar, só podemos alocar mulheres, pois homens e mulheres devem se sentar alternadamente. Assim, há 3 formas de preenchermos esta cadeira.

Vamos agora para o lugar seguinte. Ele só pode ser ocupado por um homem, pois homens e mulheres devem se sentar de maneira alternada. Tínhamos 3 homens, mas já alocamos 1. Faltam 2. Com isso, há duas formas de executarmos esta etapa.

Para o lugar seguinte, temos duas opções de mulher.

Com o mesmo raciocínio, preenchemos os demais lugares:

O número de maneiras de alocar estas seis pessoas é dado por:

Como não há alternativa correta, a questão foi anulada.

Gabarito: anulado

Muito bem. A maior dúvida que surgiu em aula foi: por que é que, para alocar o primeiro homem, não podemos considerar que temos 3 opções diferentes?

Muito bem, façamos isso. Se essa fosse a solução, teríamos:

Seriam 36 configurações possíveis.

Vamos focar em uma delas:

Estou considerando que “A”, “C” e “E” são homens. O homem sempre ocupa a posição “meio-dia” do relógio. “B”, “D” e “F” são mulheres.

Agora observem a configuração abaixo:

Agora vejam outro caso:

Observem que essas três configurações são idênticas.

Isso porque não há referência física fora da mesa. Só o que importa é a posição relativa entre as pessoas.

Em todos os casos, “F” está na frente de “C”. “A” está entre “B” e “F”. “E” tem “F” à sua esquerda e “D” à sua direita. E assim por diante. Ou seja, os posicionamentos relativos não mudaram. Simplesmente demos um “giro” na mesa. Simplesmente rodamos as pessoas em círculo. Isso não altera o posicionamento relativo entre elas. Por isso temos uma permutação circular.

Todas essas 3 configurações, na verdade, correspondem a 1 só.

Então cada configuração foi contada repetidas vezes. Foi contada 3 vezes mais do que deveria. Por isso temos que dividir o resultado obtido por 3:

Que resulta novamente em 12

Resumo da ópera: na permutação circular, aloque a primeira pessoa. Assim você terá uma referência para alocar as demais. Pronto. Daí sim, continue resolvendo o exercício normalmente.

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ISS Natal 2008–Funções

Olá pessoal, hoje trago uma questão sobre funções, cobrada pela Esaf em 2008:

(ESAF – ISS Natal 2008) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade



para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que f(0) é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução:

Na verdade, o enunciado deveria garantir que a igualdade vale para todo x real.

Vamos ver o caso em que x = 0. Substituindo x por 0, temos:

Agora vejamos outro caso. Façamos. Temos:

Vamos parar a conta por um instante, e relembrar a seguinte propriedade da radiciação:

Logo:

Ok, então o número pode ser escrito assim:

Agora aplicamos novamente a propriedade:

Agora podemos continuar o problema, de onde tínhamos parado:

Substituindo I em II:

Agora cancelamos f(0) com –f(0):

Para dividir duas potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes:

Gabarito: A

Aproveitando, informo que no TecConcursos já temos mais de 2.800 questões de exatas comentadas.

Bons estudos!

Vítor