Diagramas lógicos

Hoje trabalhamos duas questões de lógica de argumentação da Esaf. Um pouco antigas, mas muito boas!

Questão 1 MPOG 2002 [ESAF]

Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:

a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio.

b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.

d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Resolução:

Temos duas informações importantes. Vamos colocá-las do seguinte modo:

1) Todos os que foram à formatura de Hélcio foram ao casamento de Hélio.

2) Nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio

A informação 1 pode ser representada assim:

A informação 2 nos diz que pelo menos um amigo de Hélcio não foi no casamento de Hélio.

É isso mesmo.

Dizer que nem todos os amigos de Hélcio foram ao casamento é o mesmo que dizer que pelo menos um dos amigos de Hélcio não foi ao tal casamento.

Ou ainda: algum amigo de Hélcio não foi ao casamento.

Assinalamos com um “x” a região que possui elementos.

As regiões em branco, essas não sabemos se possuem ou não elementos.

 

Vamos analisar as alternativas. Todas são referentes aos amigos de Hélcio (conjunto azul da figura acima):

 

a - todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio.

Isto é falso. Temos certeza de que há amigos de Hélcio que não foram à formatura. Basta ver que há um pedaço do conjunto azul fora do conjunto verde. E, neste pedaço, há um (X), indicando que há elementos nesta região.

 

b - pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

Perfeito.

Há um pedaço do conjunto azul fora do conjunto verde. Neste pedaço, há um X, indicando existência de elementos.

 

c - alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.

Não sabemos se existem amigos de Hélcio que foram à colação de grau. A intersecção entre os conjuntos verde e azul é uma região de incerteza. Vou destacar em amarelo no diagrama abaixo:

Só com esta análise já dá para descartar esta alternativa.

 

d - alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Novamente, não sabemos se alguns foram ou não à formatura. As informações não nos permitem concluir isso.

Também não sabemos se nenhum foi ao casamento. Esta é uma possibilidade, mas não uma certeza.

 

e - todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Errado. Com certeza pelo menos um não foi à formatura. É o que concluímos na letra “b”.

Gabarito: B

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Questão 2 MPOG 2002 [ESAF]

Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:

a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

e) nenhuma menina alegre é loira.

 

Resolução:

Primeiro vamos separar nossas informações.

1) Todas as meninas loiras são, também, altas e magras

2) Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis

3) Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos

4) Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis

5) Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra

6) Nenhuma menina tem cabelos crespos, olhos azuis e é alegre

 

Como tudo isso foi dado pelo enunciado, tudo isso é verdadeiro. Estas são as nossas premissas. A partir destas premissas, a qual conclusão podemos chegar?

Vamos lá. Vamos montando nossos diagramas com base em cada informação dada.

Vamos começar com a primeira premissa:

“Todas as meninas loiras são, também, altas e magras”

Temos que colocar o conjunto das meninas loiras (L) totalmente dentro do conjunto das meninas altas e magras (AM). Assim:

Reparem que todas as regiões estão em branco, porque não sabemos se existem meninas loiras, nem altas e magras.

Agora a premissa 2:

“Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis”

Sabemos que não pode haver intersecção entre o conjunto das altas e magras (AM) e o conjunto das de olhos azuis. Deste jeito:

Todas as regiões ainda estão em branco, pois não sabemos se correspondem a algum elemento.

Vamos ver a premissa 3:

“Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos”

Vamos deixar de lado os conjuntos que já temos e montar estes. É o mesmo caso da premissa 1. Vamos colocar o conjunto das alegres (Ale) dentro do conjunto das meninas de cabelos crespos (Cab cre).

Vamos continuar com a premissa 4:

“Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis”

Disto, temos que o conjunto das meninas de cabelos crespos toca o conjunto das meninas de olhos azuis. E mais que isso: há pelo menos um elemento nesta região. Há pelo menos uma menina de cabelo crespo e olho azul.

Marcamos um (X) na região em que temos certeza da existência de pelo menos um elemento.

Vamos direto para a premissa 6, que também agrega informações neste desenho.

“Nenhuma menina tem cabelos crespos, olhos azuis e é alegre”

Com isso, percebemos que nenhuma menina alegre tem olhos azuis. Ou seja, precisamos pintar de cinza a região que não possui elementos.

Por último, vamos ver o que diz a premissa 5:

“Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra”

Com esta informação, podemos combinar todos os conjuntos.

Estes conjuntos refletem as seis informações dadas no enunciado. Agora vejamos o que dizem as alternativas.

a - pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

Concluímos que nenhuma menina alegre tem olhos azuis. Veja a região cinza entre os conjuntos vermelho e azul.

 

b - pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

Nenhuma menina loira tem olhos azuis. Basta vermos que os conjuntos amarelo e azul não se encostam. Não há intersecção entre eles.

 

c - todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

De forma alguma. Nenhuma menina de cabelo crespo é loira. Os conjuntos amarelo e marrom não se encostam. Eles não têm intersecção.

 

d - todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

Não. Basta ver a região marcada com um (X). Há pelo menos uma menina de cabelo crespo, olho azul, que não é alegre.

 

e - nenhuma menina alegre é loira.

Exatamente. Vejam que os conjuntos amarelo e vermelho não se tocam.

Gabarito: E

Convenção linear e convenção exponencial

Décimo segundo vídeo da série de matemática financeira.



Questões trabalhadas:

Questão 64 - AFRFB 2003 [ESAF]

Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502.

a) 0,5%

b) 1%

c) 1,4%

d) 1,7%

e) 2,0%

Questão 65 - COFECON 2009 [UNIVERSA]

Mediante o raciocínio utilizado na matemática financeira por meio de um gráfico comparativo entre o valor dos juros simples e o dos juros compostos, assinale a alternativa incorreta.

(A) Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização simples, sendo seu valor constante durante os períodos.

(B) Os juros crescem exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composta, e o montante calculado até o período anterior serve como base de cálculo para os juros do próximo período.

(C) O valor dos juros simples e dos juros compostos é igual no primeiro período de capitalização.

(D) É correto afirmar que, antes do primeiro período de capitalização, o valor dos juros simples é inferior ao dos juros compostos, sendo ambos calculados com base na mesma taxa de juros (i) aplicada sobre o mesmo capital (C).

(E) Após o primeiro período de capitalização, o valor dos juros compostos é superior ao valor dos juros simples.

Questão 66 - SEFAZ PB 2006 [FCC]

Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a

(A) R$ 25.500,00

(B) R$ 24.932,05

(C)) R$ 24.805,00

(D) R$ 23.780,00

(E) R$ 22.755,00

Taxas equivalentes em juros compostos

Décimo primeiro vídeo da série de matemática financeira.

[youtube=http://youtu.be/CH7PC5VQPAY]

Enunciados trabalhados no vídeo:

Questão 59 - IRB 2006 [ESAF]

Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) 60% ao ano

b) 30% ao semestre

c) 24% ao semestre

d) 10% ao trimestre

e) 6% ao bimestre

Questão 60 - ANTAQ 2009 [CESPE]

Duas taxas de juros são efetivas se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente fazer a aplicação com uma ou com outra taxa.

Questão 61 - TRE AM 2010 [FCC]

A taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral corresponde à taxa efetiva, ao ano, de

(A) 9,76%

(B) 10,00%

(C) 10,20%

(D) 10,25%

(E) 10,50%

Questão 62 - TJ SE 2009 [FCC]

Uma taxa de juros nominal de 30% ao ano, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa de juros efetiva de

a) ao mês

b) ao bimestre

c) ao trimestre

d) ao semestre

e) ao ano

Questão 63 - TJ AP 2009 [FCC]

João está financiando um veículo e foi informado que a taxa anual praticada pela concessionária e de 12,0% ao ano. A taxa equivalente mensal, a juros compostos, a ser considerada no empréstimo será de (considerar até a segunda decimal):

(A) 1,24%

(B) 1,00%

(C) 0,94%

(D) 0,90%

(E) 0,84%

Média harmônica

Fechando o dia, mais outra questão que gerou dúvida no meu curso, desta vez, no curso de Estatística para AFRFB:

CGU 2002 [ESAF]

Em um passeio de moto, um dos participantes vai de Curitiba a São Paulo a uma velocidade média de 50 Km por hora; após, retorna de São Paulo para Curitiba a uma velocidade média de 75 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi de:

a) 60

b) 62,5

c) 65

d) 70

e) 72,5

Resolução:

Iniciando com a solução apresentada em aula.

Para simplificar, vamos supor que o trajeto tem 150 km, pois 150 é um múltiplo comum de 50 e de 75.

Na ida, o carro anda a 50 km por hora. Assim, ele demora 3 horas para percorrer 150 km.

Na volta, o carro percorre 75 km em 1 hora. Logo, demora 2 horas para voltar.

Ao todo, ele gasta 5 horas para percorrer os 300 km de ida e volta. A velocidade média fica:

Gabarito: A

Interessante observar que, nesse tipo de situação, a velocidade média é justamente a média harmônica das velocidades individuais.

Vejam:

Agora vamos às dúvidas:

1) Como saber que é para usar a média harmônica? Como descubro isso a partir do enunciado?

Resposta: isso é simplesmente “decorado”, “gravado”. Esse é o caso típico de utilização da média harmônica. Se você pegar vários livros diferentes, muito provavelmente o exemplo de média harmônica que eles vão dar é esse – um carro indo e voltando num trecho, com velocidades diferentes.

Usando o linguajar de propaganda de pasta dental: “9 entre 10 autores usam esse exemplo”. É o caso típico de média harmônica.

Se você não soubesse disso, sem stress, vejam que na primeira solução apresentada nós não usamos a média harmônica para fazer contas. Não fez a menor falta.

2) Por que não posso fazer a média aritmética entre as velocidades?

Para ilustrar porque isso é errado, vamos tomar um exemplo bem exagerado. Vamos supor que eu vou viajar de São Paulo (onde moro) até Goiânia (onde moram meus pais). Decido ir de avião. A distância é 1.000 km. Para simplificar as contas, vamos supor que o avião vá a 1.000 km/h. Logo, eu gasto 1 hora para chegar.

Na volta, decido pagar promessa, e venho a pé, a 5 km/h. Consequentemente, gasto 200 horas para voltar.

Ao todo, percorri 2.000 km, e gastei 201 horas para isso. A velocidade média é:

Se fizéssemos a média aritmética, o resultado seria:

Mas isso é totalmente fora da realidade. Se minha velocidade média fosse de mais de 500 km/h, então eu gastaria algo em torno de:

Eu gastaria algo em torno de 4 horas para fazer o trajeto inteiro (ida e volta). Isso é irreal, meu tempo total foi bem maior que isso – gastei 201 horas.

O grande detalhe é que eu fiquei pouquíssimo tempo a uma velocidade alta (apenas 1 hora a 1.000 km/h). E fiquei um tempão a uma velocidade baixa (200 horas a 5km/h).

O efeito disso é que a velocidade pequena tem um “peso maior”. Ficamos mais tempo com ela. Logo, a velocidade média para o trecho total (9,95 km/h) ficará mais perto de 5km/h do que de 1.000 km/h.

A média aritmética só valeria se ficássemos a mesma quantidade de tempo a 1.000 km/h e a 5km/h. Se os tempos em cada velocidade fossem os mesmos, a média aritmética valeria.

AFT 1998

Pessoal, outra questão que gerou dúvidas no meu curso de RLQ.

Como de costume, primeiro vejamos a solução apresentada em aula. Depois coloco uma solução alternativa:

Fiscal Trabalho 1998 [ESAF]

Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Resolução:

Todas as alternativas trabalham com as mesmas proposições simples, a saber:

p: João é alto

q: Guilherme é gordo

E todas as alternativas trazem condicionais. O condicional tautológico será aquele que pode ser associado a um argumento válido.

Letra A: “se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo”

Vamos passar esta frase para a forma simbólica?

Podemos dividir esta frase em duas parcelas:

1ª - João é alto

2ª - João é alto ou Guilherme é gordo

A segunda parte é um “ou”: João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q) = p Ú q

A ligação entre a primeira parte e a segunda é feita por um condicional.

Vejamos: se João é alto (p), então João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q)

Representamos esta frase assim:

Este condicional pode ser associado ao seguinte argumento:

Premissa:

Conclusão:

Notem que se “p” for verdadeiro (premissa verdadeira), isso já garante, automaticamente, que “” é verdadeiro (conclusão verdadeira).

Ou seja, o argumento é válido. Logo, o condicional associado é tautológico.

Pronto. Achamos nossa resposta.

Gabarito: A

Outra forma de resolver a questão é montando tabelas verdade de cada alternativa, e vendo qual delas apresenta apenas valor lógico V.

Letra A:´

Vamos preencher a terceira coluna. A proposição composta pelo “ou” só é falsa se suas duas parcelas forem falsas. Logo:

Agora preenchemos a última coluna. Para tanto, consultamos o valor lógico do antecedente na primeira coluna (em verde), o valor do consequente na terceira coluna (em vermelho) e preenchemos a última coluna (em amarelo):

Agora temos que lembrar que o condicional só é falso quando temos V/F nessa ordem. Ou seja, quando o antecedente é V e o consequente é F.

Essa situação não ocorre na tabela acima. Temos apenas as combinações:

• V/V (linhas 1 e 2)
• F/V (linha 3)
• F/F (linha 4)

A combinação V/F, nessa ordem, não ocorreu nenhuma vez. Logo, o condicional é sempre verdadeiro, ou seja, é uma tautologia.

Achamos nossa resposta.

Caso a última coluna não fosse toda preenchida com “V”, teríamos que continuar testando as demais alternativas.

MPOG 2010

Olá pessoal!

Recebi algumas dúvidas sobre a questão abaixo, utilizada no meu curso de Raciocínio Lógico:

MPOG 2010 [ESAF]

Ana é nutricionista e está determinando o peso médio – em quilos (kg) – de todos seus 50 clientes. Enquanto Ana está somando os pesos de seus clientes, para calcular a média aritmética entre eles, sem perceber, ela troca os dígitos de um dos pesos; ou seja, o peso XY kg foi trocado por YX kg. Essa troca involuntária de dígitos alterou a verdadeira média dos pesos dos 50 clientes; a média aritmética ficou acrescida de 0,9 kg. Sabendo-se que os pesos dos 50 clientes de Ana estão entre 28 e 48 kg, então o número que teve os dígitos trocados é, em quilos, igual a:

a) 38

b) 45

c) 36

d) 40

e) 46

Resolução:

Primeiro vou apresentar a solução dada em aula. Depois faço comentários adicionais, para solucionar as dúvidas.

Para calcular a média, somamos todos os pesos e dividimos por 50, pois são 50 clientes.

Para que a média seja aumentada em 0,9, o número teve que ser aumentado em uma quantidade 50 vezes maior, para que, quando dividido por 50, resulte no acréscimo de 0,9.

O peso do cliente foi aumentado em 45 kg.

Assim, o valor YX é 45 unidades maior que XY.

Sendo Y e X dois algarismos (portanto, valem de 0 a 9), podemos escrever esses valores assim:

Fazendo a diferença entre os dois pesos:

Dividindo os dois lados da igualdade por 9:

Assim, o algarismo Y é 5 unidades maior que X.

As possibilidades para o peso XY são:

05; 16; 27; 38; 49

Como os pesos possíveis estão entre 27 e 48, a única possibilidade é 38.

Gabarito: A

Primeira dúvida: como descobrir que tem que multiplicar 0,9 por 50.

Bom, não consigo aproveitar a solução acima explicando de outra forma. Então optarei por resolver de outra maneira.

A média é caculada assim: somamos todos os valores e dividimos por 50:

Onde X1, X2, ..., X50 representam os pesos dos pacientes.

Vamos isolar o peso do último paciente:

Ok, só que a médica errou no seu cálculo. Ela trocou o peso , por um outro valor, incorreto. O valor incorreto foi .

Todos os demais pesos foram corretamente registrados. Consequentemente, a nova média () é igual à média antiga, somada de 0,9.

Para calcular a nova média, somamos todos os valores e dividimos por 50:

A nova média é igual à média anterior, somada em 0,9:

Agora vou só reordenar os temos:

Em vermelho temos justamente o peso correto do paciente:

Conclusão: o peso incorreto é igual ao peso correto, somado com 45.

Segunda dúvida: por que as possibilidades de peso são:

05; 16; 27; 38; 49

Basta fazer assim. Sabemos que, no número de algarismos XY, o segundo algarismo é 5 unidades maior que o primeiro. Então saímos montando todas as possibilidades.

• O menor valor para X é 0; nesse caso, Y = X + 5 = 5
• O próximo valor possível para X é 1; nesse caso, Y = X+5 = 6
• Em seguida, X = 2. Nesse caso, Y = X+5 = 7
• Para X = 3, Y = X+5 = 8
• Para X = 4 Y = X+5 = 9
• Para X = 5, Y = X+5 = 10, o que é impossível, pois X e Y são algarismos (podem assumir valores de 0 a 9)

Então as combinações são:

• 0 com 5: 05
• 1 com 6: 16
• 2 com 7: 27
• 3 com 8: 38
• 4 com 9: 49

Taxa nominal e taxa efetiva

Segue décimo vídeo da série de matemática financiera.



Questão 52 - Prefeitura de Fortaleza 2003 [ESAF]

O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação.

a) R$ 27.200,00

b) R$ 27.616,11

c) R$ 28.098,56

d) R$ 28.370,38

e) R$ 28.564,92

Dados: 1,06^6=1,418519

Questão 53 - CVM 2010 [ESAF]

Qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal?

a) 12,616% ao semestre.

b) 24% ao ano.

c) 12% ao semestre.

d) 4,803% ao bimestre.

e) 5,75% ao trimestre.

Dados:

1,02^2 = 1,0404

1,02^3 = 1,061208

1,02^6=1,126162

1,02^12 = 1,268242

Questão 54 - Senado 2008 [FGV]

Um capital de R$ 4.000,00, aplicado a juros compostos com capitalização semestral, produz, ao fim de 1 ano, o montante de R$ 5.760,00. A taxa de juros nominal anual é:

a) 20%.

b) 21%.

c) 22%.

d) 40%.

e) 44%.

Questão 55 - BASA 2007 [CESPE]

Considere que R$ 10.000,00 sejam investidos por 8 anos em um fundo de investimentos que paga uma taxa nominal de juros compostos anuais de 16%, capitalizados trimestralmente. Nessa situação, tomando-se 1,9 como valor aproximado de 1,0416, é correto inferir-se que, ao final dos 8 anos, o montante será superior ao triplo do valor inicialmente investido.

Questão 56 - SUSEP 2010 [ESAF]

No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre.

Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a:

a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre.

b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre.

c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre.

d) 240 % ao ano e 88 % ao ano.

e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre.

Questão 57 - STF 2008 [CESPE]

Considerando que um empréstimo de R$ 3.000,00 tenha sido contratado junto a uma financeira, para ser quitado em um ano, e que 1,51 e 1,04 sejam os valores aproximados de 1,03512 e, 1601/12 , respectivamente, julgue os itens que se seguem.

145. Se a taxa de juros nominal anual desse contrato for de 42% e se a capitalização for mensal, a juros compostos, a dívida ao final do período será superior a R$ 4.000,00.

146. Se o montante da dívida ao final do período for de R$ 4.800,00, então a taxa de juros compostos nominal anual, com capitalização mensal, será inferior a 50%.

Questão 58 - ATRFB 2012 [ESAF]

Um título de R$ 20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal de juros simples dessa operação é igual a

a) 6,50%.

b) 5,50%.

c) 5,25%.

d) 6,00%.

e) 6,25%.