Condicional associado ao argumento

 

Hoje veremos uma interessante forma de analisar se um condicional é ou não tautológico.

Vou dar um exemplo com duas premissas e uma conclusão. Mas é só um exemplo. O que vem a seguir vale para qualquer argumento, com qualquer número de premissas.

Sejam a e b duas premissas. Seja c a conclusão. O argumento pode ser escrito assim:

A esse argumento pode ser associado o seguinte condicional:

Nesse condicional, nós temos um “e” unindo as premissas. E o consequente (segunda parcela) é a conclusão do argumento.

Se o argumento for válido, então esse condicional é uma tautologia. E vice-versa. Se esse condicional for uma tautologia, o argumento é válido. Dizemos que o argumento é válido se e somente se o condicional a ele associado é tautológico.

Estendendo o conceito para n premissas, temos:

O argumento

é válido se e somente se o condicional

for uma tautologia.

Vimos acima que, se o argumento é válido, o condicional a ele associado é tautológico. E se o condicional é tautológico, então o argumento associado é válido.

Isso pode ser entendido da seguinte forma. Nas linhas da tabela-verdade em que pelo menos uma das premissas é falsa, o condicional é verdadeiro, de cara (pois seu antecedente é falso). E essas linhas pouco importam para gente, pois, dentro de um argumento, só nos interessam as linhas da tabela verdade em que as premissas são verdadeiras.

Ok, agora vamos para as linhas da tabela-verdade em que todas as premissas são verdadeiras. Nessas linhas, se a conclusão também for verdadeira, então o argumento é válido. E, além disso, o condicional a ele associado também assume o valor lógico verdadeiro, o que faz dele uma tautologia.

Caso contrário, se, em pelo menos uma das linhas em que as premissas são verdadeiras, a conclusão for falsa, o argumento será inválido. Além disso, o condicional a ele associado não será mais uma tautologia.

O conceito de condicional associado a um argumento válido pode ser utilizado para identificar tautologias.

Exemplo:

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AFT (Esaf)

Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

 

Resolução:

Todas as alternativas trabalham com as mesmas proposições simples, a saber:

p: João é alto

q: Guilherme é gordo

E todas as alternativas trazem condicionais. O condicional tautológico será aquele que pode ser associado a um argumento válido.

Letra A: “se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo”

Vamos passar esta frase para a forma simbólica?

Podemos dividir esta frase em duas parcelas:

1ª - João é alto

2ª - João é alto ou Guilherme é gordo

A segunda parte é um “ou”: João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q)

A ligação entre a primeira parte e a segunda é feita por um condicional.

Vejamos: se João é alto (p), então João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q)

Representamos esta frase assim:

Este condicional pode ser associado ao seguinte argumento:

Premissa: p

Conclusão:

Notem que se “p” for verdadeiro (premissa verdadeira), isso já garante, automaticamente, que “” é verdadeiro (conclusão verdadeira).

Isso ocorre porque a proposição composta pelo “ou” é V se pelo menos uma de suas parcelas for verdadeira. Como já sabemos que a primeira parcela é V (“p” é verdadeiro), então a conclusão necessariamente é V, independente do valor lógico de “q”.

 

Ou seja, o argumento é válido (premissa verdadeira acarreta em conclusão verdadeira). Logo, o condicional associado é tautológico.

Pronto. Achamos nossa resposta.

Gabarito: A

Letra b: “se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo”

Agora nosso condicional fica:

O argumento correspondente é:

Premissa:

Conclusão:

O simples fato de a premissa ser verdadeira (p) verdadeiro não nos permite concluir que a conclusão também seja. A conclusão apresenta o conectivo “e”. Ela só será verdadeira se ambas as parcelas forem V.

Uma das parcelas (p), já sabemos que é V. Mas a outra, “q”, nada sabemos sobre ela. Então nada podemos concluir sobre a proposição composta “p e q”

O argumento não é válido. Então o condicional não é tautológico.

 

Letra C: “se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo”

O condicional fica:

O argumento correspondente é:

Premissa:

Conclusão: q

Saber que a premissa é verdadeira nos indica que pelo menos uma das proposições simples (p ou q) é verdadeira.

Ou seja, sabemos que pelo menos uma das duas (p ou q) é verdadeira, mas não sabemos se são as duas, ou só uma. E, caso apenas uma delas seja verdadeira, não sabemos qual é.

A conclusão já afirma que “q” é verdadeira. Esse é o erro – acabamos de ver que não temos como descobrir qual das duas proposições simples (p ou q) é verdadeira.

 

Letra D: “se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo”

Condicional:

Argumento:

Premissa:

Conclusão:

Saber que a premissa é verdadeira nos indica que pelo menos uma das proposições simples (p ou q) é verdadeira.

Ou seja, sabemos que pelo menos uma das duas (p ou q) é verdadeira, mas não sabemos se são as duas, ou só uma. E, caso apenas uma delas seja verdadeira, não sabemos qual é.

A conclusão já afirma que ambas (p e q) são verdadeiras. Esse é o erro – acabamos de ver que não temos como descobrir qual das duas proposições simples (p ou q) é verdadeira. Pior ainda seria dizer que ambas são verdadeiras.

 

Letra E: se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Condicional:

Argumento:

Premissa: p

Conclusão: q

Vejam que a premissa em nada ajuda a descobrir a veracidade da conclusão. Saber que “P” ocorre em nada ajuda a identificar qualquer coisa sobre “Q”. O argumento é inválido. Logo, o condicional não é tautológico.

Ministério da Integração Nacional 2013

Olá pessoal, hoje resolvo a prova do Ministério da Integração Nacional 2013, atendendo ao pedido da Roberta.

Ainda não foi liberado o gabarito preliminar da banca, então o que irá constar aqui são as respostas a que eu cheguei, e não a posição oficial.

Julgue os itens seguintes, relativos a sistemas numéricos e sistema legal de medidas.

33) Se A = 1,232323... e B = 0,434343..., então

 

Resolução:

Subtraindo as duas equações:

Podemos fazer a mesma coisa com B:

Somando A e B:

Item correto.

---

34) Se a área da fazenda Y for igual a 23 km² e a área da fazenda Z for igual a 2.300.000 m², então a área da fazenda Y será menor que a área da fazenda Z.

 

Resolução.

Temos que lembrar que 1 km = 1.000 m. Assim:

A área de Y é igual a 23 milhões de metros quadrados.

Já a área de Z é igual a 2 milhões e trezentos mil metros quadrados.

A área de Y é maior. Item errado.

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35) Considere que, para garantir o abastecimento de água durante determinado período de seca, tenha sido construído, em uma propriedade, um reservatório com capacidade para armazenar 10.000 dm³ de água. Nesse caso, o reservatório não transbordará se nele forem depositados 20.000 L de água.

 

Resolução.

Temos que lembrar que 1 dm3 corresponde a 1 L de água. Logo, no reservatório cabem 10.000 dm3 = 10.000 litros de água.

Tentarmos colocar 20.000 L de água (o dobro da capacidade), certamente irá transbordar.

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36) A soma

é inferior a 2.

 

Resolução.

Caso a soma prosseguisse infinitamente

teríamos a soma dos infinitos termos de uma PG com razão entre 0 e 1. Esta soma é dada por:

Onde a₁ é o primeiro termo da PG (vale 1) e “q” é a razão (vale 0,5).

Lembrando, uma PG é uma sequência em que a razão entre dois números seguidos é constante (igual a “q”).

A soma dos infinitos termos fica:

No entanto, como não somamos de fato todos os infinitos termos, a soma será um pouco menor que 2. Item correto.

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Determinada construtora emprega 200 empregados na construção de cisternas em cidades assoladas por seca prolongada. Esses empregados, trabalhando 8 horas por dia, durante 3 dias, constroem 60 cisternas. Com base nessas informações e considerando que todos os empregados sejam igualmente eficientes, julgue os itens que seguem.

37) Se todos os empregados trabalharem 12 horas por dia durante 2 dias, então eles construirão, nesse período, mais de 55 cisternas.

 

Resolução.

Basta fazermos uma regra de três.

Vamos tomar a quantidade de cisternas como grandeza de comparação. E a partir dela, analisamos as demais.

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais horas por dia de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais dias de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Agora montamos as frações. Deixamos a fração correspondente à grandeza “quantidade de cisternas” de um lado da igualdade (pois foi nossa referência). Do outro lado ficam as demais grandezas, multiplicando.

Item certo

---

38) Se, do início do ano até o presente momento, 800 cisternas tiverem sido construídas, e isso corresponder a 16% do total previsto para o ano, então, para se atingir a meta do ano, será necessário construir mais 4.200 novas cisternas.

Resolução:

Se já foi feito 16% do total, faltam 100% - 16% = 84%

16% corresponde a 800 cisternas

84% corresponde a x cisternas

16% ---- 800

84% ---- x

Multiplicando cruzado:

Item certo

---

39) Considere que, de 1.250 cisternas construídas, 8% delas tiveram de ser refeitas por apresentarem defeitos de várias naturezas. Considere, ainda, que, das cisternas que apresentaram defeitos, 15% foram retiradas por terem apresentado vazamentos. Em face desta situação, é correto afirmar que, das 1.250 cisternas construídas, menos de 1,3% delas foram refeitas por apresentarem vazamentos.

 

Resolução.

8% das 1.250 cisternas tiveram defeito. E, destas, 15% foram por vazamento.

15% de 8% corresponde a:

1,2% realmente é menor que 1,3%. Item certo.

---

40) Se os empregados trabalharem 8 horas por dia, durante 7 dias, eles construirão, nesse período, mais de 145 cisternas.

 

Resolução.

Basta fazermos uma regra de três.

Nem foi necessário usar a grandeza “horas de trabalho por dia”, pois ela foi mantida constante.

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais dias de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Então basta multiplicar cruzado:

Item errado

---

41) Se todos os empregados trabalharem 10 horas por dia, durante 3 dias, eles construirão, nesse período, mais de 70 cisternas.

Resolução:

Basta fazermos uma regra de três.

Nem foi necessário usar a grandeza “dias de trabalho”, pois ela foi mantida constante.

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais horas por dia de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Então basta multiplicar cruzado:

Item certo

---

42) Se todos os empregados trabalharem 6 horas por dia, durante 8 dias, então, nesse período, eles construirão menos de 110 cisternas.

Resolução:

Basta fazermos uma regra de três.

Vamos tomar a quantidade de cisternas como grandeza de comparação. E a partir dela, analisamos as demais.

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais horas por dia de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais dias de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Agora montamos as frações. Deixamos a fração correspondente à grandeza “quantidade de cisternas” de um lado da igualdade (pois foi nossa referência). Do outro lado ficam as demais grandezas, multiplicando.

Item errado

RLQ MPU 2013 - parte 1

Hoje iniciamos a resolução da prova de RLQ do MPU. Segue vídeo:

[youtube=http://youtu.be/W2aRiytoht4]

Questões trabalhadas no vídeo:

Nos termos da Lei n.º 8.666/1993, “É dispensável a realização de nova licitação quando não aparecerem interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração”.

Considerando apenas os aspectos desse mandamento atinentes à lógica e que ele seja cumprido se, e somente se, a proposição nele contida, — proposição P — for verdadeira, julgue os itens seguintes.

43. O gestor que dispensar a realização de nova licitação pelo simples fato de não ter aparecido interessado em licitação anterior descumprirá a referida lei.

44. A negação da proposição “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “A licitação anterior somente poderá ser repetida com prejuízo para a administração”.

45) A negação da proposição “Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração”.

46) A proposição P é equivalente a “Se não apareceram interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração, então é dispensável a realização de nova licitação”.

47) Supondo-se que a proposição P e as proposições “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” e “É dispensável a realização de nova licitação” sejam verdadeiras, é correto concluir que também será verdadeira a proposição “Não apareceram interessados em licitação anterior”.

Resolução da prova da Polícia Federal 2012

Prezados, segue a resolução da prova de Raciocínio Lógico da PF 2012.

É um bom treino para quem vai prestar o cargo de Escrivão agora em 2013.

[youtube=http://youtu.be/1PvglQ1PAWI]

Diagramas lógicos

Hoje trabalhamos duas questões de lógica de argumentação da Esaf. Um pouco antigas, mas muito boas!

Questão 1 MPOG 2002 [ESAF]

Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:

a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio.

b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.

d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Resolução:

Temos duas informações importantes. Vamos colocá-las do seguinte modo:

1) Todos os que foram à formatura de Hélcio foram ao casamento de Hélio.

2) Nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio

A informação 1 pode ser representada assim:

A informação 2 nos diz que pelo menos um amigo de Hélcio não foi no casamento de Hélio.

É isso mesmo.

Dizer que nem todos os amigos de Hélcio foram ao casamento é o mesmo que dizer que pelo menos um dos amigos de Hélcio não foi ao tal casamento.

Ou ainda: algum amigo de Hélcio não foi ao casamento.

Assinalamos com um “x” a região que possui elementos.

As regiões em branco, essas não sabemos se possuem ou não elementos.

 

Vamos analisar as alternativas. Todas são referentes aos amigos de Hélcio (conjunto azul da figura acima):

 

a - todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio.

Isto é falso. Temos certeza de que há amigos de Hélcio que não foram à formatura. Basta ver que há um pedaço do conjunto azul fora do conjunto verde. E, neste pedaço, há um (X), indicando que há elementos nesta região.

 

b - pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

Perfeito.

Há um pedaço do conjunto azul fora do conjunto verde. Neste pedaço, há um X, indicando existência de elementos.

 

c - alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.

Não sabemos se existem amigos de Hélcio que foram à colação de grau. A intersecção entre os conjuntos verde e azul é uma região de incerteza. Vou destacar em amarelo no diagrama abaixo:

Só com esta análise já dá para descartar esta alternativa.

 

d - alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Novamente, não sabemos se alguns foram ou não à formatura. As informações não nos permitem concluir isso.

Também não sabemos se nenhum foi ao casamento. Esta é uma possibilidade, mas não uma certeza.

 

e - todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Errado. Com certeza pelo menos um não foi à formatura. É o que concluímos na letra “b”.

Gabarito: B

---

Questão 2 MPOG 2002 [ESAF]

Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:

a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

e) nenhuma menina alegre é loira.

 

Resolução:

Primeiro vamos separar nossas informações.

1) Todas as meninas loiras são, também, altas e magras

2) Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis

3) Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos

4) Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis

5) Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra

6) Nenhuma menina tem cabelos crespos, olhos azuis e é alegre

 

Como tudo isso foi dado pelo enunciado, tudo isso é verdadeiro. Estas são as nossas premissas. A partir destas premissas, a qual conclusão podemos chegar?

Vamos lá. Vamos montando nossos diagramas com base em cada informação dada.

Vamos começar com a primeira premissa:

“Todas as meninas loiras são, também, altas e magras”

Temos que colocar o conjunto das meninas loiras (L) totalmente dentro do conjunto das meninas altas e magras (AM). Assim:

Reparem que todas as regiões estão em branco, porque não sabemos se existem meninas loiras, nem altas e magras.

Agora a premissa 2:

“Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis”

Sabemos que não pode haver intersecção entre o conjunto das altas e magras (AM) e o conjunto das de olhos azuis. Deste jeito:

Todas as regiões ainda estão em branco, pois não sabemos se correspondem a algum elemento.

Vamos ver a premissa 3:

“Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos”

Vamos deixar de lado os conjuntos que já temos e montar estes. É o mesmo caso da premissa 1. Vamos colocar o conjunto das alegres (Ale) dentro do conjunto das meninas de cabelos crespos (Cab cre).

Vamos continuar com a premissa 4:

“Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis”

Disto, temos que o conjunto das meninas de cabelos crespos toca o conjunto das meninas de olhos azuis. E mais que isso: há pelo menos um elemento nesta região. Há pelo menos uma menina de cabelo crespo e olho azul.

Marcamos um (X) na região em que temos certeza da existência de pelo menos um elemento.

Vamos direto para a premissa 6, que também agrega informações neste desenho.

“Nenhuma menina tem cabelos crespos, olhos azuis e é alegre”

Com isso, percebemos que nenhuma menina alegre tem olhos azuis. Ou seja, precisamos pintar de cinza a região que não possui elementos.

Por último, vamos ver o que diz a premissa 5:

“Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra”

Com esta informação, podemos combinar todos os conjuntos.

Estes conjuntos refletem as seis informações dadas no enunciado. Agora vejamos o que dizem as alternativas.

a - pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

Concluímos que nenhuma menina alegre tem olhos azuis. Veja a região cinza entre os conjuntos vermelho e azul.

 

b - pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

Nenhuma menina loira tem olhos azuis. Basta vermos que os conjuntos amarelo e azul não se encostam. Não há intersecção entre eles.

 

c - todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

De forma alguma. Nenhuma menina de cabelo crespo é loira. Os conjuntos amarelo e marrom não se encostam. Eles não têm intersecção.

 

d - todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

Não. Basta ver a região marcada com um (X). Há pelo menos uma menina de cabelo crespo, olho azul, que não é alegre.

 

e - nenhuma menina alegre é loira.

Exatamente. Vejam que os conjuntos amarelo e vermelho não se tocam.

Gabarito: E

Convenção linear e convenção exponencial

Décimo segundo vídeo da série de matemática financeira.



Questões trabalhadas:

Questão 64 - AFRFB 2003 [ESAF]

Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502.

a) 0,5%

b) 1%

c) 1,4%

d) 1,7%

e) 2,0%

Questão 65 - COFECON 2009 [UNIVERSA]

Mediante o raciocínio utilizado na matemática financeira por meio de um gráfico comparativo entre o valor dos juros simples e o dos juros compostos, assinale a alternativa incorreta.

(A) Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização simples, sendo seu valor constante durante os períodos.

(B) Os juros crescem exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composta, e o montante calculado até o período anterior serve como base de cálculo para os juros do próximo período.

(C) O valor dos juros simples e dos juros compostos é igual no primeiro período de capitalização.

(D) É correto afirmar que, antes do primeiro período de capitalização, o valor dos juros simples é inferior ao dos juros compostos, sendo ambos calculados com base na mesma taxa de juros (i) aplicada sobre o mesmo capital (C).

(E) Após o primeiro período de capitalização, o valor dos juros compostos é superior ao valor dos juros simples.

Questão 66 - SEFAZ PB 2006 [FCC]

Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a

(A) R$ 25.500,00

(B) R$ 24.932,05

(C)) R$ 24.805,00

(D) R$ 23.780,00

(E) R$ 22.755,00