Manipulação de somatório

No meu curso de estatística trabalhamos algumas igualdades envolvendo somatório. São elas:

Daí o Rodolfo, aluno do meu curso de estatística, pediu que eu apresentasse uma demonstração desses resultados.

Bem, uma demonstração formal, ficarei devendo. Mas dá para entender de onde vêm essas igualdades.

Vejamos, por exemplo, a segunda igualdade.

Vamos trabalhar com:

Primeiro fazemos o quadrado da diferença:

Agora separamos o somatório da soma em soma de somatórios:

Mas a média aritmética é uma constante. Podemos retirá-la do somatório:

No último termo, temos o somatório de uma constante. Estamos somando:

“n” vezes. Logo, o resultado será:

Lembrando a definição de média aritmética:

O que resulta em:

Podemos substituir isso na nossa expressão. Tínhamos parado no seguinte ponto:

Agora substituímos o valor de :

Que foi uma das igualdades envolvendo somatório que apresentamos em aula:

Fizemos bem devagar, para ficar claro cada passo. Mas dá para fazer bem mais rápido.

Vejamos agora com a variável Y, como fica:

Se vocês repararem bem, esta é exatamente a mesma igualdade utilizada na minha aula de medidas de dispersão, quando estudamos a forma alternativa de cálculo da variância. Lembrando. A fórmula de definição é:

Agora substituímos o numerador, usando a igualdade que aprendemos a calcular:

No primeiro termo, temos a média dos quadrados de X:

Que é a forma alternativa de cálculo da variância.

E para não passar batido, vamos para a última igualdade que está faltando:

Apesar de num primeiro momento parecer muito difícil fazer toda essa manipulação acima, se você tentar fazer sozinho algumas vezes, verá que é bem rápido. Então deixo ao critério de cada um. Se você preferir decorar as igualdades envolvendo somatório, decore. Se preferir deduzir rapidamente quando precisar, ok, também serve.

Só ressalto que elas são realmente importantes, pois são muito utilizadas nas aulas de regressão linear e de análise de variância.

Juros simples

Hoje iniciamos a abordagem de “juros simples”.



Seguem questões trabalhadas:

Questão 13 - CVM 2010 [ESAF]

Qual o valor mais próximo do montante que atinge uma dívida de R$ 2.000,00, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês?

a) R$ 2.115,00

b) R$ 2.092,00

c) R$ 2.090,00

d) R$ 2.105,00

e) R$ 2.120,00

Questão 14 - IRB 2006 [ESAF]

Um capital de 1000 unidades monetárias foi aplicado durante um mês a 3% ao mês, tendo o montante ao fim do mês sido reaplicado no segundo mês a 4% ao mês e o montante ao fim do segundo mês sido reaplicado no terceiro mês a 5% ao mês. Indique o montante ao fim do terceiro mês.

a) 1 170

b) 1 124,76

c) 1 120

d) 1 116,65

e) 1 110

Questão 15 - SUSEP 2002 [ESAF]

Um capital é aplicado a juros simples durante três meses e dez dias a uma taxa de 3% ao mês. Calcule os juros em relação ao capital inicial.

a) 9%

b) 10%

c) 10,5%

d) 11%

e) 12%

Questão 16 - SEFAZ RJ 2009 [FGV]

O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias, é de:

a) R$ 6.255,00

b) R$ 5.500,00

c) R$ 6.500,00

d) R$ 4.855,00

e) R$ 4.675,50

Questão 17 - SEFAZ SP 2009 [FCC]

Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ 28.933,60.

A soma dos juros das duas aplicações é igual a

(A) R$ 10.080,00

(B) R$ 8.506,80

(C) R$ 7.204,40

(D) R$ 6.933,60

(E) R$ 6.432,00

Questão 18 - ISS SP 2012 [FCC]

Em 05 de janeiro de certo ano, uma pessoa tomou R$ 10.000,00 emprestados por 10 meses, a juros simples, com taxa de 6% ao mês. Após certo tempo, encontrou um outro credor que cobrava taxa de 4% ao mês. Tomou, então, R$ 13.000,00 emprestados do segundo credor pelo resto do prazo e, no mesmo dia, liquidou a dívida com o primeiro. Em 05 de novembro desse ano, ao liquidar a segunda dívida, havia pago um total de R$ 5.560,00 de juros aos dois credores.

O prazo do segundo empréstimo foi

a) 6 meses.

b) 5 meses e meio.

c) 5 meses.

d) 4 meses e meio.

e) 4 meses.

Probabilidade MPOG 2005

Hoje resolvemos a seguinte questão da Esaf:

(ESAF 2005) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:

a) 80

b) 72

c) 90

d) 18

e) 56

Resolução:

Vamos dividir o problema em etapas. A primeira etapa vai ser escolher a cadeira de Paulo. A segunda etapa vai ser escolher a cadeira de Pedro.

Quando Paulo se senta na primeira cadeira da fila, para Pedro só há 8 opções. Pedro só pode sentar nas cadeiras de 3 a 10, de modo que haja pelo menos uma cadeira vazia entre eles.

Deste modo, alocando Paulo na primeira cadeira, há 8 modos de escolher a cadeira de Pedro.

Há 8 maneiras de os dois se sentarem, com Paulo na primeira cadeira, havendo pelo menos um lugar vago entre eles.

Analogamente, quando Paulo se sentar na última cadeira, Pedro só poderá se sentar nas cadeiras de 1 a 8.

Há 8 maneiras de os dois se sentarem, com Paulo na décima cadeira, havendo pelo menos um lugar vago entre eles.

Finalmente, Paulo ainda pode se sentar nas cadeiras de 2 a 9.

Neste caso, Pedro não poderá se sentar nem na cadeira imediatamente anterior, nem na cadeira imediatamente posterior, nem na própria cadeira escolhida por Paulo. Restarão, portanto, 7 opções de cadeira para Pedro.

Há 56 maneiras de Pedro e Paulo se sentarem com pelo menos uma cadeira vazia entre eles, de tal modo que Paulo ocupe uma das cadeiras de 2 a 9.

Somando tudo, temos:

Há 72 maneiras de eles ocuparem as cadeiras, deixando um lugar vazio entre eles.

Estatística MPOG parte 3

Trago hoje o terceiro post da série em que resolvemos a prova de estatística do MPOG 2012.

Enunciados:

(Esaf 2012) Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 anos. Por outro lado, 60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de ano realizada neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas.

Sabendo-se que o morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a probabilidade de que este morador seja mulher é igual a:

a) 3/7

b) 8/15

c) 3/15

d) 1/30

e) 4/19

(Esaf 2012) A probabilidade de uma variável aleatória z com distribuição normal padrão estar no intervalo entre -1,96 e 1,96 desvios padrão é igual a 95%, isto é: P{-1,96 < z < 1,96} = 95%.

Sabe-se que uma variável aleatória contínua x tem distribuição normal com média 10 e variância 4. Assim, pode-se afirmar que P{x < 6,08} é igual a:

a) P(x < 13,92)

b) P(x > 13,92)

c) P(z < 1)

d) P(z = 1)

e) P(x = 13,92)

Segue resolução:

Lógica de argumentação

Vamos hoje trabalhar uma questão da Esaf para estudar duas formas diferentes para se analisar um argumento.

(CGU 2006 Esaf) Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra. Assim,

a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.

b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.

c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina.

d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina.

e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina.

 

Vamos começar com a técnica que, em meus cursos de raciocínio lógico, chamo de “Técnica 2”, pois é a segunda de uma série de 6 técnicas que ensino.

Sabemos que as seguintes informações são verdadeiras:

1) Márcia não é magra ou Renata é ruiva

2) Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva

3) Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina

4) Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra

Montamos uma tabela com todas as possibilidades. Em seguida, vamos lendo cada premissa e riscando as situações que contradizem o enunciado. Assim:

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	ruiva	bailarina
Magra	ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	ruiva	bailarina
Não magra	ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

1 - Márcia não é magra ou Renata é ruiva.

Posso excluir os casos em que Márcia é magra e Renata não é ruiva (pois esta combinação tornaria falsa a proposição acima).

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	ruiva	bailarina
Magra	ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	ruiva	bailarina
Não magra	ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

2 - Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva.

Excluo casos em que Beatriz não é bailarina e Renata é ruiva (novamente, é a hipótese que tornaria falsa a proposição acima).

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	ruiva	bailarina
Magra	ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	ruiva	bailarina
Não magra	ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

3 - Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina.

Temos um conectivo “ou”. Ele só é falso quando as duas parcelas são falsas. No caso, a proposição é falsa quando Renata é ruiva e Beatriz é bailarina.

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	ruiva	bailarina
Magra	ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	ruiva	bailarina
Não magra	ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

Repare que, olhando na tabela as informações que ainda não foram riscadas, já sabemos sobre Márcia (não é magra) e Renata (não é ruiva), só nos falta saber de Beatriz.

4 - Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra.

Agora temos um condicional. Qual a única situação em que um condicional é falso? Quando o primeiro termo é verdadeiro e o segundo é falso.

Podemos separar a frase em duas “parcelas”. A primeira se refere a Beatriz; a segunda é sobre Márcia. Quando Beatriz não é bailarina, a primeira parte é verdadeira. Quando Márcia é magra, a segunda parte é falsa. Primeiro termo verdadeiro e segundo termo falso faz com que a frase acima seja falsa.

Devemos, portanto, descartar esta opção.

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	ruiva	bailarina
Magra	ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	ruiva	bailarina
Não magra	ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

Portanto, Márcia não é magra, Renata não é ruiva e Beatriz é bailarina.

Gabarito: A

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Agora vamos para a técnica 6. A ideia é combinar duas premissas para gerar outras, mais simples de serem analisadas. Repetindo o enunciado:

Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra. Assim,

a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.

b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.

c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina.

d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina.

e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina.

 

Nesta nova solução, vamos combinar premissas para chegar em proposições mais simples (que é a ideia das regras de inferência).

As premissas são:

1) Márcia não é magra ou Renata é ruiva

2) Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva

3) Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina

4) Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra

 

Vamos focar nas premissas 2 e 3:

2) Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva

3) Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina

 

As duas premissas devem ser verdadeiras (ao mesmo tempo!!!).

Uma delas afirma que Beatriz é bailarina. A outra afirma que Beatriz não é bailarina.

Quanto à Beatriz, portanto, uma das duas premissas está errada.

Não nos interessa qual das duas premissas erra sobre Beatriz.

O que interessa é isso: uma das premissas apresenta uma parcela falsa (a parcela que fala sobre Beatriz).

Assim, a outra parcela deve ser verdadeira, para que a disjunção seja verdadeira.

E qual é a outra parcela?

A outra parcela é: “Renata não é ruiva”.

Assim, a única forma de as duas premissas serem simultaneamente verdadeiras é se Renata não for ruiva.

Renata não é ruiva.

Vamos para a primeira premissa:

1) Márcia não é magra ou Renata é ruiva

A segunda parcela do “ou” é falsa. Logo, a primeira parcela deve ser verdadeira.

Márcia não é magra.

Vamos para a última premissa:

4) Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra

A segunda parcela do condicional é falsa. Para que o condicional seja verdadeiro, a primeira parcela deve ser falsa.

Beatriz é bailarina.

Pronto. Descobrimos que Renata não é ruiva, Márcia não é magra e Beatriz é bailarina. Isso sem precisar de chute para ser testado. Sem precisar de tabela. É bem mais rápido.

Mas, por outro lado, não tem “receita de bolo”, esse é o problema.

Aumentos e reduções percentuais

Hoje trabalhamos o tópico "aumentos e reduções percentuais", que dá continuidade ao último vídeo, sobre porcentagem.



Seguem enunciados trabalhados:

Questão 6 - TCE RN 2009 [CESPE]

Se o preço original de um produto sofrer reajustes sucessivos de 15% e de 20%, então o percentual de aumento no preço desse produto em relação ao preço original será de 38%.

 

Questão 7 - TRT 17 2009 [CESPE]

Se, do capital X, 40% forem investidos em um fundo de ações e o restante, em um fundo DI, e se, após um mês, as cotas desses fundos se valorizarem 15% e 2%, respectivamente, então a rentabilidade do capital X nesse mês será superior a 7%.

Questão 8 - TCE AC 2009 [CESPE]

Em um supermercado, um cliente comprou determinado produto e, na hora de pagar, o operador do caixa registrou um valor 9% superior ao preço impresso na etiqueta do produto. Para corrigir o erro, o operador do caixa efetuou um desconto de R$ 9,81 sobre o preço registrado, de modo que o cliente pagasse apenas o valor impresso na etiqueta.

Nessa situação, o valor em reais registrado na embalagem do produto era igual a

A 106,50.

B 109.

C 110,50.

D 112.

E 113,35.

 

Questão 9 - TRF 4 2010 [FCC]

Comparando os registros de entrada e saída de pessoas de certa Unidade do Tribunal Regional Federal, relativos aos meses de janeiro de 2010 e dezembro de 2009, observou-se que o número de visitantes em janeiro ultrapassava o de dezembro em 40%. Sabendo que, se essa Unidade tivesse recebido 350 visitantes a menos em janeiro, ainda assim, o total de pessoas que lá estiveram nesse mês excederia em 12% o total de visitantes de dezembro.

Nessas condições, o total de visitantes de janeiro foi

(A) 1 625.

(B) 1 650.

(C) 1 700.

(D) 1 725.

(E) 1 750.

 

Questão 10 - MPU 2007 [FCC]

Mensalmente, um técnico administrativo elabora relatórios estatísticos referentes à expedição de correspondências internas e externas. Analisando os relatórios por ele elaborados ao final dos meses de setembro, outubro e novembro de 2006, foi observado que:

– do total de correspondências em setembro, 20% eram de âmbito interno;

– em cada um dos meses seguintes, o número de correspondências internas expedidas aumentou 10% em relação às internas expedidas no mês anterior, enquanto que para as externas, o aumento mensal foi de 20%, em relação às externas.

Comparando-se os dados do mês de novembro com os de setembro, é correto afirmar que o aumento das correspondências expedidas

(A) no total foi de 39,4%.

(B) internamente foi de 42,2%.

(C) externamente foi de 34,6%.

(D) internamente foi de 20%.

(E) externamente foi de 40%.

Questão 11 - TCE AC 2009 [CESPE]

Ao entrar em vigor lei específica que estabeleceu novos direitos aos usuários de telecomunicações, uma operadora de telefonia celular perdeu 8% dos seus clientes. A empresa decidiu, então, diminuir sua margem de lucro sobre os serviços ao cliente, o que acarretou um aumento de 10% no número atual de clientes da empresa. Nessa situação, considerando que, após as medidas tomadas pela empresa, o número de clientes da operadora passou a ser de 80.960, então o número de clientes dessa operadora antes da perda dos 8% de clientes era

A inferior a 73.500.

B superior a 73.500 e inferior a 75.500.

C superior a 75.500 e inferior a 77.500.

D superior a 77.500 e inferior a 79.500.

E superior a 79.500.

 

Porcentagem

http://www.youtube.com/watch?v=dEn40Y5S0Z0

Teoria e questões resolvidas sobre porcentagem

 

Seguem enunciados trabalhados no vídeo:

Questão 1 - SUSEP 2006 [ESAF]

Em um concurso, de cada 100 candidatos, 60 eram mulheres e 40 homens. Considerando que a porcentagem de aprovação entre os candidatos mulheres foi de 20% e entre os homens foi de 15%, calcule a porcentagem de aprovação em geral entre os candidatos, independentemente do sexo.

a) 15%

b) 17%

c) 18%

d) 19%

e) 20%

Questão 2 - TRF 4 2010 [FCC]

Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública, sabe-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem, é 1,20. Se 88% dos funcionários dessa repartição são concursados, então, relativamente ao total de funcionários, a porcentagem de funcionários concursados do sexo

(A) feminino é maior que 42%.

(B) masculino está compreendida entre 45% e 52%.

(C) feminino é menor que 35%.

(D) masculino é maior que 50%.

(E) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%.

Questão 3 - SEFAZ SP 2009 [FCC]

Em toda a sua carreira, um tenista já disputou N partidas, tendo vencido 70% delas. Considere que esse tenista ainda vá disputar, antes de se aposentar, mais X partidas, e que vença todas elas. Para que o seu percentual de vitórias ao terminar sua carreira suba para 90%, X deverá ser igual a

(A) N.

(B) 1,2 N.

(C) 1,3 N.

(D) 1,5 N.

(E) 2 N.

Questão 4 - MPU 2010 [CESPE]

Em determinado órgão do Poder Executivo, foram alocados R$ 110.000,00 no orçamento para a aquisição de 1.000 cadeiras de escritório. Com a previsão de realização de um concurso para provimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, além das 1.000 já previstas. Com base nas informações da situação hipotética apresentada, julgue os itens a seguir.

124. Para a aquisição das 300 unidades adicionais, a verba suplementar deverá ser de 35% do valor inicialmente alocado, desde que não haja mudança no preço das cadeiras.

 

Questão 5 - ATRFB 2009 [ESAF]

Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que:

a) O dolar se desvalorizou 25% em relação ao real.

b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar.

c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar.

d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar.

e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar.