Função de segundo grau

Hoje respondo a uma dúvida do Mateus, que me enviou esta questão por e-mail:

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Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função f(x) = -10.000(x²– 14x + 13). O custo de produção desses x milhares de unidades, também em reais, é estimado em g(x) = 20.000(x + 3,5).

Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto, julgue os próximos itens.

O lucro líquido máximo da fábrica será obtido quando forem vendidas 6.000 unidades do produto.

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Resolução.

O lucro é dado pela diferença entre a receita e o custo:

Temos uma função de segundo grau (parábola), com concavidade para baixo (pois o sinal de x² é negativo). Quando isso ocorre, a função apresenta ponto de máximo.

Numa função do tipo , o ponto extremo ocorre para:

Utilizando este resultado acima:

O ponto de lucro máximo ocorre para milhares de unidades.

Item certo.

Média - FCC

Hoje resolveremos uma interessante questão sobre média aritmética, da Fundação Carlos Chagas. Segue o enunciado:

(FCC - MPU/2007) Dados os conjuntos de números P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 240, 245}, pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da média, que a média dos elementos de Q é igual a:

a) constante 220 somada ao produto da média dos elementos de P por 5.

b) média dos elementos de P mais a constante 220.

c) média dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrária.

d) média dos elementos de P mais a constante 220 e esse último resultado multiplicado por 5.

e) média dos elementos de P mais a constante 200

Resolução:

Cada elemento de Q pode ser obtido a partir de P da seguinte forma:

I – multiplicamos por 5

II – somamos 220.

Vamos pegar os primeiros valores.

Vamos pegar o segundo valor de P e o segundo valor de Q:

Agora, vamos para o terceiro valor de P e o terceiro valor de Q:

E assim por diante.

Generalizando, para cada valor de P, podemos obter o respectivo valor de Q:

Existe uma propriedade da média aritmética que nos diz o seguinte. Sempre que multiplicamos, dividimos, somamos ou subtraímos uma constante de cada um dos dados, a média sofre a mesma alteração.

Então a média de Q fica:

A média de Q é igual à média de P, multiplicada por 5 e somada com 220.

Esse procedimento está descrito na letra A.

Gabarito: A.

ISS SP 2012 - Distribuição geométrica

Yuri, aluno do meu curso de estatística, solicitou a resolução de uma questão do ISS SP 2012, que trata da distribuição geométrica.

Ressalto que todas as questões de exatas do ISS SP 2012 estão comentadas no www.tecconcursos.com.br

Vamos lá, falemos um pouco sobre a distribuição geométrica.

Suponha que realizamos repetidas vezes um experimento de Bernoulli, até que obtenhamos o primeiro sucesso. A variável “X” indica o número de tentativas até conseguirmos o primeiro sucesso. “X” é uma variável com distribuição geométrica.

Exemplo: “X” designa o número de lançamentos de uma moeda até obtermos “cara” pela primeira vez.

Outro exemplo: “X” designa o número de lançamentos do dado até obtermos um múltiplo de 3.

No primeiro caso, a cada lançamento a chance de sucesso (“cara”) é 50%. Dizemos que

No segundo caso, a cada lançamento do dado a chance de sucesso (“múltiplo de 3”) é 1/3. Assim .

A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer na “k-ésima” tentativa é:

É possível então calcular a média e a variância de “X”, assim:

Finalmente, vamos á questão:

(ISS SP 2012 – FCC)

Suponha que ao realizar um experimento ocorra o evento A com probabilidade p e não ocorra com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que A ocorra pela primeira vez. Seja: X = número de repetições do experimento até que A ocorra pela primeira vez. Sabendo que a média de X é 3, a probabilidade condicional expressa por P (X = 2 | X ≤ 3) é igual a

a) 5/27

b) 4/27

c) 2/9

d) 1/3

e) 6/19

Resolução:

Temos uma distribuição geométrica. Sua média é:

Logo, temos:

Por fim:

Gabarito: E

Analista da Receita 2009–Estatística

Hoje resolvo uma questão do concurso de Analista da Receita. A questão foi pedida pelo Renato, aluno do meu curso de RLQ.

Segue enunciado:

(ESAF - ATRFB 2009) O modelo de regressão linear múltipla Y= α + βX + γZ + ε é ajustado às observações Y_i, X_i e Z_i, que constituem uma amostra aleatória simples de tamanho 23. Considerando que o coeficiente de determinação calculado foi R² = 0,80, obtenha o valor mais próximo da estatística F para testar a hipótese nula de não-existência da regressão.

a) 84

b) 44

c) 40

d) 42

e) 80

Resolução:

Sejam:
- SQT: soma de quadrados total

- SQM: soma de quadrados do modelo de regressão.

- SQR: soma de quadrados dos resíduos

- r2: coeficiente de determinação

- "n": o tamanho da amostra.

- "p": a quantidade de parâmetros a serem estimados. Nesta questão, temos três parâmetros ()

Temos:







Logo:





Sejam:
- QMT: quadrado médio total

- QMM: quadrado médio do modelo de regressão

- QMR: quadrado médio dos resíduos.

O quadrado médio é dado pela respectiva soma de quadrados dividida pelo número de graus de liberdade.

A soma de quadrados total tem graus de liberdade.



Ou seja, SQT tem 22 graus de liberdade.

A soma de quadrados dos resíduos tem graus de liberdade. Como a amostra tem tamanho 23 () e são três parâmetros a serem estimados (), ficamos com:



Logo, SQR tem 20 graus de liberdade.

Por fim, o número de graus de liberdade de SQM é dado pela diferença entre os valores acima:



SQM tem 2 graus de liberdade.

A estatística F é dada por:











A questão foi anulada por não estar prevista no edital do concurso.

Gabarito: anulado

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Analista da Receita 2009 - Variância

Jamile Farias, aluna do meu curso de estatística, pediu a solução da questão abaixo, da prova do ATRFB 2009.

(ESAF – ATRFB 2009) Obtenha o valor mais próximo da variância amostral da seguinte distribuição de frequências, onde X_i representa o i-ésimo valor observado e f_i a respectiva frequência.

Xi	5	6	7	8	9
fi	2	6	6	4	3

a) 1,429.

b) 1,225.

c) 1,5.

d) 1,39.

e) 1, 4.

Resolução:

Para facilitar as contas, vamos subtrair 7 de todos os valores de X, para que, quando elevarmos ao quadrado, não tenhamos números muito grandes.

Essa variável “d” é uma variável auxiliar, criada a partir de “X”. Nosso objetivo é diminuir a quantidade de contas.

Xi	d	fi	d f
5	-2	2	-4
6	-1	6	-6
7	0	6	0
8	1	4	4
9	2	3	6
TOTAL		21	0

Agora vamos calcular a média dos valores de d².

d	d2	fi	d f
-2	4	2	8
-1	1	6	6
0	0	6	0
1	1	4	4
2	4	3	12
TOTAL		21	30

A variância de d fica:

Mas nós não queremos a variância de d. Nós queremos a variância de X.

Somas e subtrações não interferem na variância. Logo, a variância de d é igual à variância de X.

Gabarito: C

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