Taxas equivalentes em juros compostos

Décimo primeiro vídeo da série de matemática financeira.

[youtube=http://youtu.be/CH7PC5VQPAY]

Enunciados trabalhados no vídeo:

Questão 59 - IRB 2006 [ESAF]

Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) 60% ao ano

b) 30% ao semestre

c) 24% ao semestre

d) 10% ao trimestre

e) 6% ao bimestre

Questão 60 - ANTAQ 2009 [CESPE]

Duas taxas de juros são efetivas se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente fazer a aplicação com uma ou com outra taxa.

Questão 61 - TRE AM 2010 [FCC]

A taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral corresponde à taxa efetiva, ao ano, de

(A) 9,76%

(B) 10,00%

(C) 10,20%

(D) 10,25%

(E) 10,50%

Questão 62 - TJ SE 2009 [FCC]

Uma taxa de juros nominal de 30% ao ano, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa de juros efetiva de

a) ao mês

b) ao bimestre

c) ao trimestre

d) ao semestre

e) ao ano

Questão 63 - TJ AP 2009 [FCC]

João está financiando um veículo e foi informado que a taxa anual praticada pela concessionária e de 12,0% ao ano. A taxa equivalente mensal, a juros compostos, a ser considerada no empréstimo será de (considerar até a segunda decimal):

(A) 1,24%

(B) 1,00%

(C) 0,94%

(D) 0,90%

(E) 0,84%

Média harmônica

Fechando o dia, mais outra questão que gerou dúvida no meu curso, desta vez, no curso de Estatística para AFRFB:

CGU 2002 [ESAF]

Em um passeio de moto, um dos participantes vai de Curitiba a São Paulo a uma velocidade média de 50 Km por hora; após, retorna de São Paulo para Curitiba a uma velocidade média de 75 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi de:

a) 60

b) 62,5

c) 65

d) 70

e) 72,5

Resolução:

Iniciando com a solução apresentada em aula.

Para simplificar, vamos supor que o trajeto tem 150 km, pois 150 é um múltiplo comum de 50 e de 75.

Na ida, o carro anda a 50 km por hora. Assim, ele demora 3 horas para percorrer 150 km.

Na volta, o carro percorre 75 km em 1 hora. Logo, demora 2 horas para voltar.

Ao todo, ele gasta 5 horas para percorrer os 300 km de ida e volta. A velocidade média fica:

Gabarito: A

Interessante observar que, nesse tipo de situação, a velocidade média é justamente a média harmônica das velocidades individuais.

Vejam:

Agora vamos às dúvidas:

1) Como saber que é para usar a média harmônica? Como descubro isso a partir do enunciado?

Resposta: isso é simplesmente “decorado”, “gravado”. Esse é o caso típico de utilização da média harmônica. Se você pegar vários livros diferentes, muito provavelmente o exemplo de média harmônica que eles vão dar é esse – um carro indo e voltando num trecho, com velocidades diferentes.

Usando o linguajar de propaganda de pasta dental: “9 entre 10 autores usam esse exemplo”. É o caso típico de média harmônica.

Se você não soubesse disso, sem stress, vejam que na primeira solução apresentada nós não usamos a média harmônica para fazer contas. Não fez a menor falta.

2) Por que não posso fazer a média aritmética entre as velocidades?

Para ilustrar porque isso é errado, vamos tomar um exemplo bem exagerado. Vamos supor que eu vou viajar de São Paulo (onde moro) até Goiânia (onde moram meus pais). Decido ir de avião. A distância é 1.000 km. Para simplificar as contas, vamos supor que o avião vá a 1.000 km/h. Logo, eu gasto 1 hora para chegar.

Na volta, decido pagar promessa, e venho a pé, a 5 km/h. Consequentemente, gasto 200 horas para voltar.

Ao todo, percorri 2.000 km, e gastei 201 horas para isso. A velocidade média é:

Se fizéssemos a média aritmética, o resultado seria:

Mas isso é totalmente fora da realidade. Se minha velocidade média fosse de mais de 500 km/h, então eu gastaria algo em torno de:

Eu gastaria algo em torno de 4 horas para fazer o trajeto inteiro (ida e volta). Isso é irreal, meu tempo total foi bem maior que isso – gastei 201 horas.

O grande detalhe é que eu fiquei pouquíssimo tempo a uma velocidade alta (apenas 1 hora a 1.000 km/h). E fiquei um tempão a uma velocidade baixa (200 horas a 5km/h).

O efeito disso é que a velocidade pequena tem um “peso maior”. Ficamos mais tempo com ela. Logo, a velocidade média para o trecho total (9,95 km/h) ficará mais perto de 5km/h do que de 1.000 km/h.

A média aritmética só valeria se ficássemos a mesma quantidade de tempo a 1.000 km/h e a 5km/h. Se os tempos em cada velocidade fossem os mesmos, a média aritmética valeria.

AFT 1998

Pessoal, outra questão que gerou dúvidas no meu curso de RLQ.

Como de costume, primeiro vejamos a solução apresentada em aula. Depois coloco uma solução alternativa:

Fiscal Trabalho 1998 [ESAF]

Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Resolução:

Todas as alternativas trabalham com as mesmas proposições simples, a saber:

p: João é alto

q: Guilherme é gordo

E todas as alternativas trazem condicionais. O condicional tautológico será aquele que pode ser associado a um argumento válido.

Letra A: “se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo”

Vamos passar esta frase para a forma simbólica?

Podemos dividir esta frase em duas parcelas:

1ª - João é alto

2ª - João é alto ou Guilherme é gordo

A segunda parte é um “ou”: João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q) = p Ú q

A ligação entre a primeira parte e a segunda é feita por um condicional.

Vejamos: se João é alto (p), então João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q)

Representamos esta frase assim:

Este condicional pode ser associado ao seguinte argumento:

Premissa:

Conclusão:

Notem que se “p” for verdadeiro (premissa verdadeira), isso já garante, automaticamente, que “” é verdadeiro (conclusão verdadeira).

Ou seja, o argumento é válido. Logo, o condicional associado é tautológico.

Pronto. Achamos nossa resposta.

Gabarito: A

Outra forma de resolver a questão é montando tabelas verdade de cada alternativa, e vendo qual delas apresenta apenas valor lógico V.

Letra A:´

Vamos preencher a terceira coluna. A proposição composta pelo “ou” só é falsa se suas duas parcelas forem falsas. Logo:

Agora preenchemos a última coluna. Para tanto, consultamos o valor lógico do antecedente na primeira coluna (em verde), o valor do consequente na terceira coluna (em vermelho) e preenchemos a última coluna (em amarelo):

Agora temos que lembrar que o condicional só é falso quando temos V/F nessa ordem. Ou seja, quando o antecedente é V e o consequente é F.

Essa situação não ocorre na tabela acima. Temos apenas as combinações:

• V/V (linhas 1 e 2)
• F/V (linha 3)
• F/F (linha 4)

A combinação V/F, nessa ordem, não ocorreu nenhuma vez. Logo, o condicional é sempre verdadeiro, ou seja, é uma tautologia.

Achamos nossa resposta.

Caso a última coluna não fosse toda preenchida com “V”, teríamos que continuar testando as demais alternativas.

MPOG 2010

Olá pessoal!

Recebi algumas dúvidas sobre a questão abaixo, utilizada no meu curso de Raciocínio Lógico:

MPOG 2010 [ESAF]

Ana é nutricionista e está determinando o peso médio – em quilos (kg) – de todos seus 50 clientes. Enquanto Ana está somando os pesos de seus clientes, para calcular a média aritmética entre eles, sem perceber, ela troca os dígitos de um dos pesos; ou seja, o peso XY kg foi trocado por YX kg. Essa troca involuntária de dígitos alterou a verdadeira média dos pesos dos 50 clientes; a média aritmética ficou acrescida de 0,9 kg. Sabendo-se que os pesos dos 50 clientes de Ana estão entre 28 e 48 kg, então o número que teve os dígitos trocados é, em quilos, igual a:

a) 38

b) 45

c) 36

d) 40

e) 46

Resolução:

Primeiro vou apresentar a solução dada em aula. Depois faço comentários adicionais, para solucionar as dúvidas.

Para calcular a média, somamos todos os pesos e dividimos por 50, pois são 50 clientes.

Para que a média seja aumentada em 0,9, o número teve que ser aumentado em uma quantidade 50 vezes maior, para que, quando dividido por 50, resulte no acréscimo de 0,9.

O peso do cliente foi aumentado em 45 kg.

Assim, o valor YX é 45 unidades maior que XY.

Sendo Y e X dois algarismos (portanto, valem de 0 a 9), podemos escrever esses valores assim:

Fazendo a diferença entre os dois pesos:

Dividindo os dois lados da igualdade por 9:

Assim, o algarismo Y é 5 unidades maior que X.

As possibilidades para o peso XY são:

05; 16; 27; 38; 49

Como os pesos possíveis estão entre 27 e 48, a única possibilidade é 38.

Gabarito: A

Primeira dúvida: como descobrir que tem que multiplicar 0,9 por 50.

Bom, não consigo aproveitar a solução acima explicando de outra forma. Então optarei por resolver de outra maneira.

A média é caculada assim: somamos todos os valores e dividimos por 50:

Onde X1, X2, ..., X50 representam os pesos dos pacientes.

Vamos isolar o peso do último paciente:

Ok, só que a médica errou no seu cálculo. Ela trocou o peso , por um outro valor, incorreto. O valor incorreto foi .

Todos os demais pesos foram corretamente registrados. Consequentemente, a nova média () é igual à média antiga, somada de 0,9.

Para calcular a nova média, somamos todos os valores e dividimos por 50:

A nova média é igual à média anterior, somada em 0,9:

Agora vou só reordenar os temos:

Em vermelho temos justamente o peso correto do paciente:

Conclusão: o peso incorreto é igual ao peso correto, somado com 45.

Segunda dúvida: por que as possibilidades de peso são:

05; 16; 27; 38; 49

Basta fazer assim. Sabemos que, no número de algarismos XY, o segundo algarismo é 5 unidades maior que o primeiro. Então saímos montando todas as possibilidades.

• O menor valor para X é 0; nesse caso, Y = X + 5 = 5
• O próximo valor possível para X é 1; nesse caso, Y = X+5 = 6
• Em seguida, X = 2. Nesse caso, Y = X+5 = 7
• Para X = 3, Y = X+5 = 8
• Para X = 4 Y = X+5 = 9
• Para X = 5, Y = X+5 = 10, o que é impossível, pois X e Y são algarismos (podem assumir valores de 0 a 9)

Então as combinações são:

• 0 com 5: 05
• 1 com 6: 16
• 2 com 7: 27
• 3 com 8: 38
• 4 com 9: 49

Taxa nominal e taxa efetiva

Segue décimo vídeo da série de matemática financiera.



Questão 52 - Prefeitura de Fortaleza 2003 [ESAF]

O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação.

a) R$ 27.200,00

b) R$ 27.616,11

c) R$ 28.098,56

d) R$ 28.370,38

e) R$ 28.564,92

Dados: 1,06^6=1,418519

Questão 53 - CVM 2010 [ESAF]

Qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal?

a) 12,616% ao semestre.

b) 24% ao ano.

c) 12% ao semestre.

d) 4,803% ao bimestre.

e) 5,75% ao trimestre.

Dados:

1,02^2 = 1,0404

1,02^3 = 1,061208

1,02^6=1,126162

1,02^12 = 1,268242

Questão 54 - Senado 2008 [FGV]

Um capital de R$ 4.000,00, aplicado a juros compostos com capitalização semestral, produz, ao fim de 1 ano, o montante de R$ 5.760,00. A taxa de juros nominal anual é:

a) 20%.

b) 21%.

c) 22%.

d) 40%.

e) 44%.

Questão 55 - BASA 2007 [CESPE]

Considere que R$ 10.000,00 sejam investidos por 8 anos em um fundo de investimentos que paga uma taxa nominal de juros compostos anuais de 16%, capitalizados trimestralmente. Nessa situação, tomando-se 1,9 como valor aproximado de 1,0416, é correto inferir-se que, ao final dos 8 anos, o montante será superior ao triplo do valor inicialmente investido.

Questão 56 - SUSEP 2010 [ESAF]

No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre.

Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a:

a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre.

b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre.

c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre.

d) 240 % ao ano e 88 % ao ano.

e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre.

Questão 57 - STF 2008 [CESPE]

Considerando que um empréstimo de R$ 3.000,00 tenha sido contratado junto a uma financeira, para ser quitado em um ano, e que 1,51 e 1,04 sejam os valores aproximados de 1,03512 e, 1601/12 , respectivamente, julgue os itens que se seguem.

145. Se a taxa de juros nominal anual desse contrato for de 42% e se a capitalização for mensal, a juros compostos, a dívida ao final do período será superior a R$ 4.000,00.

146. Se o montante da dívida ao final do período for de R$ 4.800,00, então a taxa de juros compostos nominal anual, com capitalização mensal, será inferior a 50%.

Questão 58 - ATRFB 2012 [ESAF]

Um título de R$ 20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal de juros simples dessa operação é igual a

a) 6,50%.

b) 5,50%.

c) 5,25%.

d) 6,00%.

e) 6,25%.

Recursos para STN

Obs: corrigi um erro na questão 15

Pessoal, vou postar agora os recursos para a prova do STN. Vou postar só no meu blog, porque estou com muita pressa (tenho que viajar daqui a pouco) e a plataforma aqui do blog me permite uma edição mais rápida (pois faço tudo em word).

Vamos lá (prova de gabarito 1):

14) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade:

Desse modo, a probabilidade de x estar no intervalo (0<x<1) é igual aa:

a) 1/3

b) 1/12

c) 2/5

d) 1/6

e) 1/4

Recurso:

A banca apontou como gabarito a letra “E”. Contudo, como se demonstra abaixo, a resposta deveria ser letra “D”.

A probabilidade da variável aleatória assumir valores entre 0 e 3 é de 100%. Logo:

A probabilidade de a variável aleatória assumir valores entre 0 e 1 fica:

Portanto, solicita-se troca de gabarito, da letra E para a letra D.

---

15) Para um trabalho de avaliação de políticas econômicas, foram coletados dados de algumas empresas industriais. A seguir, a tabela de contingência apresenta os dados coletados na amostra e classificados segundo o grupo industrial ─ Ga, Gb, Gc e Gd ─, e segundo a posição dos respectivos retornos sobre o capital próprio (RCP) ─ se maior ou menor do que o retorno médio de capital próprio (RCP) obtido na amostra.

Com base nestas informações, e selecionando-se, ao acaso, uma empresa, então:

a) a probabilidade de a empresa selecionada ser do grupo Gc ou apresentar é igual a 5 %.

b) a probabilidade de a empresa selecionada ser do grupo Ga é igual a 45%.

c) sabendo-se que a empresa selecionada é do grupo Gb, então a probabilidade de a empresa apresentar é igual a 10 %.

d) a probabilidade de a empresa selecionada apresentar é igual a 15%.

e) a probabilidade de a empresa selecionada ser do grupo Gc e apresentar é igual a 33,33 %.

Recurso:

A banca deu como gabarito a letra “E”.

Contudo, essa alternativa também está incorreta. A alternativa aborda a probabilidade de a empresa ser do grupo Gc e ter retorno menor que a média. Estão nessa situação 10 empresas, conforme indicado na tabela.

Nosso espaço amostral é composto por todas as 100 empresas que constam da tabela. Logo, a probabilidade, dada pelo número de elementos do evento (=10) dividido pelo número de elementos do espaço amostral (100), fica:

A probabilidade é de 10%, e não de 33,33%, como afirmado.

Para se chegar aos 33,33%, deveríamos assumir que o enunciado se refere à probabilidade condicional de ter retorno menor que a média, dado que a empresa é do grupo Gc. Mas tal condição em momento algum foi dada no enunciado. Não há nenhuma informação que nos remeta a tal probabilidade condicional.

Deste modo, solicita-se anulação da questão, por ausência de alternativa correta.

---

3) As variáveis X, Y, Z, P e Q podem assumir os valores x1, y2, z3, p4, q5.

Sabe-se que X = x1 ou Y = y2. Se Z = z3 , então P = p4. Se P ≠ p4, então Y ≠ y2. X ≠ x1 e Q ≠ q5.

A partir disso, e sabendo que todas as afi rmações são verdadeiras, pode-se, com certeza, concluir que:

a) Y = y2 e P = p4

b) X = x1 e Y = y2

c) P = p4 e X = x1

d) X ≠ x1 e Y = y2

e) Z ≠ z3 e P = p4

Recurso: Solicita-se a anulação da questão por conter duas respostas corretas. A banca deu como gabarito a letra “A”, que de fato é correta.

No entanto, a alternativa “D” também está correta, como se demonstra a seguir.

Vamos dar nomes às proposições simples

x: X = x1

y: Y= y2

z: Z=z3

p: P=p4

q: Q = q5

As premissas nos dizem que:

A quinta premissa é composta pela conjunção. Para que seja verdadeira, as duas proposições simples devem ser verdadeiras. Portanto:

Se tais proposições são verdadeiras, suas negações são falsas:

A primeira premissa é:

Uma proposição composta pela disjunção só é verdadeira se pelo menos uma das proposições simples for verdadeira. Já sabemos que a primeira proposição (x) é falsa Logo, a segunda proposição tem que ser verdadeira, para garantir que tal premissa seja também verdadeira. Assim:

A terceira premissa nos diz que:

Podemos aplicar a equivalência lógica:

Obtivemos um segundo condicional, em que o antecedente (y) é V. Isso é condição suficiente para que “p” também seja verdadeiro. Logo:

A premissa faltante é:

Trata-se de um condicional em que o consequente é verdadeiro. Isso já garante condicional verdadeiro, independente do valor lógico do antecedente. Logo, nada podemos afirmar sobre “z”.

Resumindo, concluímos que:

• 
  
  x: Falso


• 
  
  y: Verdadeiro


• 
  
  z: nada concluimos


• 
  
  q: Falso


• 
  
  p: Verdadeiro

A alternativa D afirma que

• 
  
  X ≠ x1: proposição “x” é falsa. Está correto, conforme vimos acima


• 
  
  Y = y2: proposição “y” verdadeira. Também está correto.

Assim, como a alternativa D também está correta, solicita-se anulação da questão.