35) Se a operação π y é definida como o triplo do cubo de y, então o valor da expressão representada pelo produto entre π 21/3 e π 20,5 é igual a:
a)
b)
c)
d) 0
e) 1
Resolução:
No desenvolvimento acima, tivemos que lembrar que 2 elevado a meio é o mesmo que a raiz quadrada de 2.
Bom, agora que calculamos cada uma das parcelas, basta fazer o produto:
Gabarito: B
Contudo, a questão acima está equivocada, e cabe recurso.
Nossa equação original há duas incógnitas – x e y. Assim sendo, nosso conjunto solução deve contemplar valores para as duas incógnitas, o que não ocorre para nenhuma das alternativas. As alternativas apresentaram apenas valores para “x”.
Para melhor entendimento, vejamos dois contra-exemplos.
Este caso não está previsto na letra D, contudo, pertence sim ao conjunto solução. Vejamos:
Portanto, o conjunto dado em A não abarca todas as soluções para a equação. Logo, não pode ser o conjunto solução.
2º contra-exemplo:
Neste caso, temos:
Que é uma forma indeterminada.
Ou seja, a solução dada pela letra A (x = 0) não vale sempre. Logo, mais uma vez, não pode ser o conjunto solução.
A solução dada na alternativa “a” valeria caso se garantisse que y, em vez de ser incógnita, é uma constante estritamente positiva.
O Sérgio, aluno do meu curso de RLQ, pediu para eu resolver a questão abaixo:
SEFAZ SP 2009 [ESAF]
Num acampamento escolar com crianças que supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida suficiente para exatamente 60 dias. Passados 20 dias, chegaram inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram 10 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fi m de 50 dias, a contar do início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida havia acabado, quantas eram elas?
a) 20
b) 60
c) 30
d) 120
e) 10
Resolução:
Primeiro vamos para a resolução apresentada em aula.
Vamos chamar essas vinte crianças que chegaram depois de “crianças inesperadas”. Elas comeram durante 10 dias. E, graças a isso, a comida acabou 10 dias antes do previsto.
Ou seja, a comida que essas vinte “crianças inesperadas” comeram em 10 dias seria suficiente para alimentar as crianças que já estavam no acampamento, também durante 10 dias.
Só podemos concluir que no acampamento havia inicialmente vinte crianças.
Gabarito: A
O Sérgio pediu uma segunda solução, sistemática, que valesse para outros casos.
Suponha que cada criança coma 1 kg de comida por dia.
Observação: Você poderia jogar qualquer outro valor, ou mesmo deixar uma incógnita (x), tanto faz. Só estou colocando 1 para não ficar com muitos números e muitas letras durante a resolução.
Continuando.
Considere que, inicialmente, havia “c” crianças.
Logo, por dia são consumidos:
Se a quantidade de comida era suficiente para 60 dias, então havia:
As 20 crianças inesperadas ficaram 10 dias no acampamento. Logo, consumiram:
Logo, para as crianças que já estavam no acampamento, sobrou:
As crianças que já estavam no acampamento comeram essa quantidade em 50 dias. Logo:
Que é o mesmo resultado obtido anteriormente.
Olá pessoal, recebi um e-mail do Thiago Leandro, solicitando ajuda com um recurso para a prova da CODEMIG.
Segue enunciado:
Durante dois anos os R$ 3.400,00 (três mil e quatrocentos reais) que estavam depositados na minha poupança renderam 8% de juros ao mês. Quanto recebi de juros nesses dois anos?
A) R$ 9.928,00.
B) R$ 6.528,00.
C) R$ 3.128,00.
D) R$ 3.264,00.
A banca, no gabarito preliminar, deu como resposta a letra B. Para tanto, considerou o cálculo dos juros pelo regime simples:
Onde:
Substituindo esses valores na fórmula, tem-se:
Já o Thiago queria a anulação da questão, porque o correto seria utilizar a capitalização composta.
O Thiago está coberto de razão. Na falta de indicação expressa da questão sobre a utilização do regime de juros simples, só podemos nos remeter às situações reais do dia a dia. E, no mundo real, não há a menor dúvida de que a poupança é remunerada pela capitalização mensal dos recursos (portanto, juros compostos).
Este é, inclusive, o posicionamento das bancas mais tradicionais do país, como Cespe e Esaf. Claro que o fato de uma banca tradicional ter determinado posicionamento não faz dele mais ou menos correto. Este é apenas um parêntese para tranquilizar quem se prepara para algum certame organizado por tais bancas.
Voltando à nossa questão, lembro que o art. 5º da MP 2170-36/2001 traz:
Art. 5o Nas operações realizadas pelas instituições integrantes do Sistema Financeiro Nacional, é admissível a capitalização de juros com periodicidade inferior a um ano.
E, por conta desta “brecha”, as instituições financeiras evidentemente cobram juros compostos em suas operações e, portanto, têm também que remunerar a juros compostos.
No caso específico da poupança, prevê a lei 8177/91, em seu art. 12:
Art. 12. Em cada período de rendimento, os depósitos de poupança serão remunerados:
I - como remuneração básica, por taxa correspondente à acumulação das TRD, no período transcorrido entre o dia do último crédito de rendimento, inclusive, e o dia do crédito de rendimento, exclusive;
II - como remuneração adicional, por juros de: (Redação dada pela Lei n º 12.703, de 2012)
a) 0,5% (cinco décimos por cento) ao mês, enquanto a meta da taxa Selic ao ano, definida pelo Banco Central do Brasil, for superior a 8,5% (oito inteiros e cinco décimos por cento); ou (Redação dada pela Lei n º 12.703, de 2012)
b) 70% (setenta por cento) da meta da taxa Selic ao ano, definida pelo Banco Central do Brasil, mensalizada, vigente na data de início do período de rendimento, nos demais casos. (Redação dada pela Lei n º 12.703, de 2012)
§ 1° A remuneração será calculada sobre o menor saldo apresentado em cada período de rendimento.
§ 2° Para os efeitos do disposto neste artigo, considera-se período de rendimento:
I - para os depósitos de pessoas físicas e entidades sem fins lucrativos, o mês corrido, a partir da data de aniversário da conta de depósito de poupança;
II - para os demais depósitos, o trimestre corrido a partir da data de aniversário da conta de depósito de poupança.
§ 3° A data de aniversário da conta de depósito de poupança será o dia do mês de sua abertura, considerando-se a data de aniversário das contas abertas nos dias 29, 30 e 31 como o dia 1° do mês seguinte.
§ 4° O crédito dos rendimentos será efetuado:
I - mensalmente, na data de aniversário da conta, para os depósitos de pessoa física e de entidades sem fins lucrativos; e
II - trimestralmente, na data de aniversário no último mês do trimestre, para os demais depósitos.
O §1º acima transcrito diz que a remuneração é calculada sobre o (menor) saldo apresentado no período. Se é sobre saldo, isso significa que a taxa de remuneração incidirá sobre o valor do capital mais juros anteriores, o que implica necessariamente na capitalização de juros.
Deste modo, a resolução correta para o problema seria calcular o montante (M) segundo a fórmula de juros compostos:
Os juros (J) correspondem à diferença entre montante e capital inicial:
Na falta de alternativa correta, a questão deveria ter sido anulada.
Contudo, já observei várias vezes provas de concurso, elaboradas por bancas menos tradicionais no cenário nacional, ignorando os dispositivos da lei, exigindo que os candidatos utilizem o regime de juros simples, que nos conduz à resposta indicada em B. Por isso alertei ao Thiago que era praticamente certo que a banca organizadora do concurso não anularia a questão, apesar de o Thiago ter razão.
O Thiago entrou com o recurso e, para a minha surpresa, nem uma coisa nem outra: não anulou, nem manteve o gabarito.
Estranhamente a banca alterou a resposta para letra C, o que não pode ser obtido nem com o regime simples, nem com o regime composto. A justificativa da banca foi:
RESPOSTA: Em resposta ao recurso interposto contra questões das provas objetivas e gabaritos preliminares, a Comissão de Análise de Recurso esclarece o que se segue. Com fundamento na bibliografia de:BONJORNO, GIOVANI, GIOVANI Jr.: Matemática. Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2011.GIOVANI, GIOVANI Jr.: A conquista da matemática. São Paulo Ed. FTD, 2011.IEZZI e outros: Coleção fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Saraiva, 2004.Indicam que:A) R$ 9.928,00. NÃO é a alternativa correta porque: é calculado o valor dos juros e soma ao capital inicial (R$ 6.528,00 + R$ 3.400,00) encontrando o valor do montante: R$ 9.928,00.B) R$ 6.528,00. NÃO é a alternativa correta porque não responde o que foi solicitado no enunciado da questão, pois representa a soma do capital inicial mais os juros do período.C) R$ 3.128,00. ALTERNATIVA CORRETA porque: J = C. I.TJ = 3400(0,08)(24)J = 6528,00 Subtraindo deste valor o capital inicial (R$6.528,00 – R$3.400,00 = R$ 3.128,00), encontra-se os juros dos dois anos conforme solicitado no enunciado.D) R$ 3.264,00. NÃO é a alternativa correta porque: é transformado os anos em meses, mas no cálculo ele considera apenas 1 ano (12 meses), encontrando R$ 3.264,00.Por estas razões a banca DEFERE o recurso.RESULTADO – DEFERIDO COM ALTERAÇÃO DA QUESTÃO DE B PARA C.
Não estou acompanhando este concurso, não sei se ainda cabe algum outro tipo de recurso.
Caso caiba, agora sim, é bastante pertinente que os candidatos questionem novamente a organizadora, pois houve um equívoco na resolução acima, não havendo o menor fundamento alterar o gabarito para a letra C.
Como sobredito, utilizando-se (indevidamente) o regime de juros simples, obtém-se a quantia de R$ 6.528,00 a título de juros, para os 24 meses de aplicação.
A banca resolveu subtrair desta quantia o valor do capital inicial, assim:
E disse que isso é igual aos juros, o que não faz o menor sentido.
Observem que a fórmula 
Para checar o absurdo que seria, basta pensar que, em vez de aplicar o dinheiro por 24 meses, aplicamos por um mês só.
Os juros seriam iguais a:
Ou seja, ao final de 1 mês, temos um saldo de
Valor este composto do capital inicial (R$ 3.400,00), mais juros de R$ 272,00.
Usando o raciocínio da banca, nossos juros seriam de:
Ou seja, teríamos juros negativos. Pergunta-se: como nosso saldo na conta aumenta, se os juros foram negativos? Essa contradição deixa bem claro o erro cometido pela banca.
Para elaborarem o recurso, vocês podem abrir qualquer livro de matemática financeira (inclusive aquele citado pela banca) e copiarem a definição e a fórmula de juros simples apresentada. Ela será:
Apenas isso, sem que haja subtração do capital inicial.
Estou sem livros aqui comigo, por isso não poderei deixar já indicado para vocês o recurso completo. Mas espero ter dado um norte para a elaboração.
No meu curso de estatística, a Ana pediu para eu mostrar de onde vem um resultado utilizado em uma das questões, que foi o seguinte:
Muito bem, vamos lá.
A definição de covariância é:
Sabendo disso, podemos calcular a covariância entre 2X e Y:
Mas, usando propriedades da esperança, temos:
Logo:
Colocando o “2” em evidência:
Dentro da esperança, temos uma constante multiplicativa. Podemos retirá-la da esperança (novamente, aplicação das propriedades da esperança):
Em vermelho temos justamente a covariância entre X e Y (vide equação I). Logo:
![clip_image002[1]](http://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2013/08/clip_image0021.png "clip_image002[1]"){kind=small}
![clip_image002[1]](http://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2013/06/clip_image00211.png "clip_image002[1]"){kind=small}
